第五章第一节复数的概念选修II

§5.1复数的概念一、引入我们知道,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac<0时,没有实数根.这说明,人们在研究代数方程的过程中,限与实数集合,有些问题就无法解决.因此,需要把实数集进一步扩充,这就是本章里我们将要学习的复数的知识.复数是16世纪人们在解决二次方程、三次方程时引入的.大约经过了一个世纪,才逐步形成完整的理论.现在,它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广泛应用,是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具.复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,复数也是初等数学的基础知识.根据考纲的要求,我们只学习§5.1-§5.4这四节.二、基础知识

1.数的发展过程(经历):

自然数计数的需要(正整数和零)———————负数表示相反意义的量解方程x+3=1————————分数测量、分配中的等分解方程3x=5(分数集

)有理数集循环小数集—————无理数度量解方程x2=2(实数集

小数集循环小数不循环小数数轴上的点)解方程x2=-1表示坐标平面上的点————————虚数2.对虚数单位i

的规定

①i2=-1;②i可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运算律不变.练习.

根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为

a+bi（a、bR）的形式.3(2+i)=

；(3-i)i=

；i=

；

-5=

；0=

；2-i=

.6+3i1+3i0+i-5+0i0+0i2+(-1)i3.

我们把形如a+bi(其中

)的数

a、bR称为复数,

记作：z=a+bi，其中a叫做复数

的

、b叫做复数

的

.全体复数集记为

.z实部z虚部C有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).4.

由于i2=

=-1，知

i为-1的一个

、-1的另一个

;一般地，a(a>0)的平方根为

、(-i)2平方根平方根为-i-a(a>0)的平方根为5.

复数z=a+bi(a、bR)实数小数(b=0)有理数无理数分数正分数负分数零不循环小数虚数(b0)特别的当a=0时纯虚数a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的

条件.必要但不充分6.

两个复数相等设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则z1=z2

,即实部等于实部,虚部等于虚部.特别地，a+bi=0

.a=b=0注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.显然,实数集R是复数集C的真子集,即RC.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.即:若z1>z2z1,z2∈R且z1>z2.三、例题分析例1.用配方法解下列方程:(1)x2-2x+3=0；(2)x2-x+1=0；(3)2x2-x+1=0.解:(1)配方可得(x-1)2=-2,所以x-1=,x=1

故原方程的解是x=1同理:(2)的解是;(3)的解是说明:一般地,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当

Δ=b2-4ac<0时,有以下结论:(1)方程的解为.(2)韦达定理仍然成立.例2.

实数m取什么值时,复数z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i

是实数？纯虚数？零？解：当m2-5m-6=0时，即m=6或m=-1时，Z为实数;当时，m2-3m-4=0m2-5m-60即m=4时，z为纯虚数;当时，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即m=-1时，

z为零.练习:教材p.198第1(2)题.答案:m=-2.例3:已知某个点的坐标为(x,y),且满足等式x2+y2+i=r2+(x+y)i,问r在什么范围内取值时,点(x,y)

①唯一;②有两个点;③不存在.解:由等式得.由第二式得:y=1-x,代入第一式并整理得:2x2-2x+1-r2=0(1).则点(x,y)的个数等价于方程(1)的解的个数.而(1)的判别式Δ=8r2-4.①:等价于Δ=0,得②:等价于Δ>0,得③:等价于Δ<0,得例4:设x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+(3-y)i=y-i,求

x与y.解:由已知可设y=bi().则(2x-1)+3i+b=bi-i,整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i.由复数相等的条件得:故x=-3/2,y=4i.例5:设复数z1=x+(y-x3)i,z2=+(x-y)i(x,y∈R),若

z1<z2,求x,y的值.解:解得:x=y=-1或0或1.例6:已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根,求这个实根及纯虚数m的值.解:设x=t是已知方程的实根,m=bi().则t2+(1+2i)t-(3bi-1)i=0,t2+t+2ti+3b+i=0,t2+t+3b+(2t+1)i=0.由复数相等的条件得:所以方程的实根为-1/2;纯虚数m=说明:此题是p.262第3题,用同样的方法可以解决第14题.延伸:已知关于t的方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,(x,y∈R)(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程;(2)求方程的实根的取值范围.(p.262第15题)解:(1)设实根为t,则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0.①②由②得t=y-x,代入①得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.③故所求的轨迹方程是(x-1)2+(y+1)2=2,其轨迹是以(1,-1)为圆心,为半径的圆.(2)等价于②表示的直线与③表示的圆有公共点.故方程的实根的取值范围是[-4,0].教材p.198习题5.1第4题:

设集合,对于其中任意两个元素进行加法、减法、乘法、除法(除数不能为0)的运算,其结果是否仍属于集合P?证明你的结论.说明:从理论上讲,如果数的集合P中任意两个数作某一个运算的结果仍在P中,称为数集P对于这个运算是封闭.证:设则所以,集合P对于加法是封闭的但减法运算不封闭.又所以,集合P对于乘法运算是封闭的.当时,这时(否则由于a2,b2∈N,则a2=b2=0,从而x2=0,矛盾).虽然a1,b1,a2,b2∈N,但却不一定成立.所以,集合P对于除法运算是不封闭的.1.

对虚数单位i

的规定

①i2=-1；②可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘运算律不变.2.

复数z=a+bi(其中a,bR)中a叫z的

、b叫z的

.实部虚部z为实数

、z为纯虚数

.b=03.下列字母：Q、R、C、Z、N分别表示什么数集，用符号表示它们的包含关系.4.-1的平方根为

、-a(a>0)的平方根为

.i5.

a=0是z=