模拟输出分析

模擬輸出分析模擬輸出之意義醫生診所中，若病人的來到率服從指數分配平均2分鐘來一位，醫生的看診時間亦服從指數分配平均2分鐘看完一位病人，模擬得下表。試問醫生忙碌率究竟為多少？其精確度有多少？

80.894111.1076100.915314.0009120.82259.8141140.78698.7884160.79108.7016模擬時間(小時)醫生忙碌率看病時間(分鐘)模擬輸出之意義若以相同的模擬時間長度，8小時為例，取用不同的隨機亂數做5次的模擬，可得到如下結果。10.894111.107620.940513.244230.896113.454240.876830.007550.84166.8155模擬次數r醫生忙碌率看病時間(分鐘)模擬輸出之意義不同的隨機亂數造成不同的結果，哪一個才是答案？但肯定的是，不能只模擬一次便對其結果下定論。模擬的統計分析會面臨下列兩個問題如何以單一數值來估計該診所真正的醫生忙碌率，此稱為點估計(pointestimate)。點估計的誤差精確度為何？模擬研究相對應的輸出分析中斷式系統期間(包括模擬時間、Entities個數)固定初始狀態影響系統績效例如：銀行、餐廳目的：了解固定期間的系統行為JobFlowtime8hrsTime0中斷式系統(TerminatingSystem)中斷式系統(TerminatingSystem)所謂的中斷式系統是指將系統模擬一特定的時間TE，也就是當E事件發生時，系統即停止模擬。此類的模擬系統從時間為0且在一特定的起始狀態下開始模擬，並且在時間為TE時停止。考慮一個中斷式系統的模擬時間為[0,TE]，並且模擬的結果產生Y1,…,Yn。樣本大小，n，可以為已知值，也可能是一個隨機變數，而模擬的目的即在估計值

中斷式系統(TerminatingSystem)假設觀察值中Yri表示第r次的模擬實驗中，第i個觀察值，i=1,…,nr，而r=1,…,R。當固定r時，其觀察值Yr1,Yr2,…彼此間是有統計相關性，但是在不同次的模擬下，Yri

和Ysi（rs）在統計上是獨立的。定義樣本平均值r為對每一r次的模擬實驗，因此：其中，這R次模擬所得樣本平均值,…,彼此之間獨立且來自相同的隨機分配(iid)。因此：

1R中斷式系統(TerminatingSystem)其樣本變異數為變異數的估計值為

中斷式系統(TerminatingSystem)，稱為點估計的標準差。標準差是用來表示點估計估計的精準度。隨著模擬次數R的增加，值理論上會愈來愈小，甚至趨近於零，而值愈小表示精準度愈高。

若以信賴區間的形式表示，在100(1-)%的信賴度下，的信賴區間為

在既定區間下的模擬次數在做模擬分析的時候，常會問一個基本的問題：到底要模擬多少次才能滿足統計上需要？也就是說，某參數的區間估計要求落在某一特定的範圍內，即半區間長度(half-length)小於某值時，我們至少需要模擬R次，才能滿足所要求的半區間長度。在100(1-)%的信賴度下，的信賴區間為其中在既定區間下的模擬次數當半區間長度要小於值時，可表示為其中，帶入後得到可以得到下式

由於，因此R為滿足下式的最小整數，且RR0

範例假設醫生診所例中，當我們需要有95%的醫生忙碌率的信賴區間落在0.02之內，則需要多少次的模擬才能達成？

樣本大小至少為因此所需要的樣本大小，可能為R=13,14,15，如下表所示，當R=15時才會滿足範例因此還要再模擬R-R0=15-5=10次，假設我們再模擬11次（比10次多），得到95%信賴區間的半區間長度為醫生忙碌比率95%信賴區間為

非中斷式系統期間不固定必須刪除系統中初始狀態的影響例如：裝配線、金屬加工製程、多數的製造系統目的：了解穩態的系統行為非中斷式系統（Non-TerminatingSystem）JobFlowtime10,000hrsTime0非中斷式系統（Non-TerminatingSystem）模擬時間不固定起始的條件或是狀態不能忽略系統模擬的目的在探討穩態(steadystate)時之行為以醫生診所為例，假設病人的來到率服從指數分配平均2.5分鐘來一位，醫生的看診時間亦服從指數分配平均2分鐘看完一位病人，利用三種不同的隨機亂數，對該系統進行12個小時的模擬，得到結果如下圖非中斷式系統（Non-TerminatingSystem）根據等候理論，知道在M/M/1模式下，病人平均在系統的時間為

其中為單位時間病人來到的個數，為單位時間醫生服務的人數，，，因此理論上病人平均在系統的時間為當模擬時間多少時，系統進入了穩態？

非中斷式系統（Non-TerminatingSystem）重複法（ReplicationMethod）重複法（ReplicationMethod）整個樣本平均值的期望值為

當n,d夠大時，理論上n,d

樣本變異數

..的標準差為

重複法（ReplicationMethod）在100(1-)%的信賴度下，的信賴區間為

優點每一重複觀測序列值為統計獨立缺點必須刪除足夠的起始觀察值，即T0要夠大，或是模擬的時間TE要夠長重複法範例以電視檢驗站為例，模擬15天，每隔一天(1440分鐘)收集一批次(batch)資料，共重複模擬10次，我們以檢驗站前的等候線長度為觀察值，所得資料如下表重複法範例假設去除前兩筆資料(d=2)，可以得到標準差為得到95%的信賴區間為重複法範例不同d值的統計結果如左表在總觀察值的個數n固定時，當少部分的觀察值被刪除後，會有下列兩個事實發生的標準差，會隨著d的減少而減少信賴區間的半區間長度，亦會隨著d的減少而減少範例假設有一台機台，且機台沒有balking的狀態。試比較模擬10次、每次8小時，及模擬10次、每次8小時的不同。RunNo.8小時800小時117.1min17.5min226.217.5313.217.6418.816.5516.420.1618.519.0719.216.7823.418.6916.319.11015.416.5平均值18.417.9標準差3.61.2RunNo.8小時800小時12.01jobs2.47jobs25.142.5531.342.5042.912.2152.173.1662.892.8372.972.3084.482.8192.442.94102.022.27平均值2.842.6標準差1.110.30平均暫存區長度平均週期時間批量法(BatchMethod)所謂的批量法即是將一次的模擬切割成k個批量，並假設k個觀察值間是彼此獨立，模擬所得的n觀察值為{Yi,i=n0,n0+1,…,n0+n}，每個批量m的大小為n/k，每一批量的平均值可以表示如下

Batch1Batch2BatchNt0t1t2tMeasureofperformance批量法(BatchMethod)當批量夠大時(即m夠大時)，各批量的平均值就會接近彼此獨立，即可求得樣本平均值的點估計為

變異數估計為

優點對系統只做一次長時間的模擬只有一個transientperiod缺點批量間彼此接近獨立的假設不一定成立，可能造成變異數低估ExampleofthesubintervalmethodA0=7A1=14A5=15A2=10A3=11A4=6n1=3n2=4n3=3n4=3n5=4510152025303512430TransientPeriodBatch5Batch4Batch3Batch2Batch1QueueLengthQSimulationTimeThebatchaverageorareseriallycorrelated.Thevariancesareusuallyunderestimate.Apracticalremedyistochoosethebatchsize(Tornk

)sufficientlylargetominimizetheimpactofautocorrelation.變異數分析法變異數分析法(AnalysisofVariance)－ANOVA一因子實驗變異數分析法(AnalysisofVariance)檢定數個平均值是否相等的適當手法一因子實驗假設欲比較a種處理或因子的a個水準。則從每一種處理所觀測的反應都是一個隨機變數。資料如下表所示，表中的代表在處理i之下的第j個觀測值。一般來說，在第i個處理下有n個觀測值。平均數模型and效應模型用模型來表示實驗所得的觀察值是有用的，平均數模型(meansmodel)模型表示的一個為

其中為第i水準下的第j觀察值。為第i水準或者第i處理的均數。是隨機誤差項，它包含因子以外的所有變異來源。效應模型(effectsmodel)

其中u是一個對所有處理都共同的參數稱之為總平均(overmean),是第i個處理所特有的參數稱之為第i個處理效應(ithtreatmenteffect)一因子實驗分析變異數分析表一因子變異數分析表，固定效應模型範例某一家快餐店提供A、B、C、D四種套餐服務，擁有一個櫃台讓顧客點餐並等候領取。當顧客來臨時，若已經有其他顧客正在點餐，則需排隊直到前面的人離開，才可以點餐。當顧客發現有五個人正在排隊等候時（等候區只有四個位置），會自行離去尋找其它的快餐店，此現象為「Balking」。原來營運的策略為顧客平均來到的機率服從均勻分配(UNIFORM)5-22分鐘。快餐店店長欲改善其績效便提了個促銷策略--減價，使得顧客來到增加，預估可使平均來到間隔時間改變為服從均勻分配（5～15分鐘）。

因此欲比較原來營運策略與促銷策略對快餐店所產生的影響？範例數據變異數分析利用F檢定，檢定原有方案與改善方案之盈餘是否相等

Result：P-value大於α＝0.05，所以無法拒絕虛無假設，因此變異數相同

Flexsim之輸出分析—電視檢驗站範例此電視檢驗站有兩個檢驗區與一個調整工作站，檢驗區分別加工時間為Uniform(6,12)分鐘