与圆的有关的位置

与圆的有关的位置关系——切线的证明与有关的计算（一）切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫圆的切线。

（二)切线的性质

圆的切线垂直于过且切点的半径。

（三)切线的判定

①和圆只有唯一公共点的直线是圆的切线。

②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线。

③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（四）证明圆的切线规律总结：

①当直线与圆未说明有公共点时，①证明直线与圆相切，需要过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，简单记为“作垂直，证明等”。

②当题中明确指明了直线和圆有公共点时，采用②证明相切，先连接圆心和已知公共点，再证明这条半和直线垂直，简记为“连半径，证垂直”。

③要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线来证明。口诀是“见半径证垂直”。练习1、（2010内蒙赤峰）⊙O的圆心到直线L的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线L向右（垂直于l的方向）平移，使L与⊙O相切，则平移的距离是()A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm2、（2010湖南娄底）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（）

A.与x轴相切，与y轴相切

B.与x轴相切，与y轴相

C.与x轴相交，与y轴相切

D.与x轴相交，与y轴相3、（2010浙江义乌）已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是_______例题1、（2010湖北武汉）如图，点O在的平分线∠APB上，⊙O与PA相切于点C．(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E若⊙O的半径为3，PC=4，求弦CE的长．证明:（1）过点O作OD⊥PB于点D，链接OC．∵PA切⊙O于点C，∴OC⊥PA

又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD∴PB与⊙O相切(2)解：过点C作CF⊥OP于点F，在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，∵OC·PC=OP·CF=2S△PCO，∴CF=在Rt△COF中，OF=，∴EF=EO+OF=，∴CE=2、（8分）（2010湖北荆州）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．(1)证明：连结OE∵ED∥OB∴∠1=∠2，∠3=∠OED，又OE=OD∴∠2=∠OED∴∠1=∠3又OB=OBOE=OC∴△BCO≌△BEO（SAS）∴∠BEO=∠BCO=90°即OE⊥AB∴AB是⊙O切线.（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：

ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=∴在Rt△CEG中，∴EG=根据垂径定理得：86102222=-=-=EDCDCE534sin=Ð=CEEG524853=×548EG2EF==3、（2010黄冈）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.4、（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，

P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）

PBPAPE•=2PBAEOCD证明：(1)连接OC、OD∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=90°—∠ODE，∠PED=∠CEO=90°—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED∴PE=PDPBAEOCD(2)连接AD、BD∴∠ADB=90°∵∠BDP=90°—∠ODB，∠A=90°—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴△PDB∽△PAD∴∴∴PDPAPBPD=PBPAPD·=2PBPAPE·=25、（2010云南楚雄）已知：如图，⊙与轴交于C、D两点，圆心的坐标为（1，0），⊙的半径为，过点C作⊙的切线交于点B（－4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点的坐标；（3）向左移动⊙（圆心始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）连接，∵是⊙A的切线，∴∠ACB=90°

．∴．∵，∴，∴．∴△BCO∽△CAO，∴．即，∴CO=2．∴C点坐标是（0，2）．设直线BC的解析式为，∵该直线经过点B（－4，0）与点C（0，2），∴解得∴该直线解析式为．（2）连接AG，过点G作GH⊥AB．由切线长定理知．在中，∵，∴．在中，由勾股定理得 ∴．又∵．∴△BOC∽△BHG，∴，∴．则是点G的纵坐标，∴，解得．∴点G的坐标．

(3)如图示，当A在点B的右侧时∵E、F、在⊙A上，∴．若△AEF是直角三角形，则，且为等腰直角三角形．过点A作AM⊥EF，在中由三角函数可知．又∵△BOC∽△BMA，∴