哈尔滨工业大学数学系

哈尔滨工业大学数学系第三章几何向量几何向量几何向量的线性运算数量积、向量积、混合积空间中的平面与直线AB有向线段向量的长度(模)—(几何)向量ABaa特例:单位向量,零向量0自由向量—与起点无关两向量共面共线a∥b相等负向量温度、密度、时间—只有大小称为数量(纯量、标量)力、(加)速度、电场强度—有大小、方向称为向量(矢量)3.1几何向量及其线性运算|AB||a||a|a=b-a线性运算加法:a+b平行四边形法则:ab2.三角形法则:ab首尾相连,a起点指向b终点3.性质:a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+0=aa+(-a)=0数乘:ak|a||k|模方向a同(k>0)a同-(k<0)

任意(k=0)差向量:a-bb起点置一处,b终点指向a终点a性质:1a=a,(-1)a=-ak(a+b)=ka+kbk(la)=(kl)a(k+l)a=ka+la=a

+(-

b)ka∥a结论:(1)

a≠0a|a|=a0(2)

a、b共线存在不全为0的数k、l,使ka+lb=0(3)

a、b、C共面存在不全为0的数k、l、m,使ka+lb+mc=0例:平行四边形ABCD(如图),试用a、b表示,,和MAMBMCMDabMABCD3.2数量积、向量积、混合积3.2.1向量在轴上的投影3.2.2几何向量的数量积3.2.3几何向量的向量积3.2.4几何向量的混合积3.2.5几何向量的坐标

3.2.6几何向量的坐标运算3.2.1向量在轴上的投影(1)向量的夹角<a，b>ab≤(2)点A在u轴上投影AuA’(3)向量在u轴上投影ABB’BPrjuAB投影轴（u1）（u2）u2-u1=(4)公式：PrjuAB=||cos〈，〉ABuABPrju(a+b)=

Prju

a+Prjubu’B’'uA’B’（u1）（u2）ABCC’（u3）ab3.2.2几何向量的数量积sFw=|F||s|cos〈F，s〉=F·s（1)定义：a·b=|a||b|cos〈a，b〉=|a|Prjab=|b|Prjba数量积、点积、内积（a，b）、标积（2)性质：a·b=b·aa·a≥0且a·a=0(a+b)·c=a·c+b·c(ka)·b=k(a·b)a=0无消去律a·b=a·cb=cabc（3)几何应用：（i)求模长：（ii)求夹角：（iii)求投影：（iV)（4)例：设（a+3b）⊥（7a-5b），且（a-4b）⊥（7a-2b），求〈a，b〉|a|=√a·a|a·b||a||b|<a，b>=arccosPrjb

a=|a·b||b|a⊥ba·b=0练：设，,是单位向量,且满足计算·+·+·ababcacbaccb++=03.2.3几何向量的向量积MAFOrP例:力F关于定点O的力矩是矢量M大小:|M|=|F|P=|F||r|sin<r，F>方向:依r，F，M顺序构成右手系a，b，c构成“右手系”:把a，b，c三个向量的起点放在一起，将右手的四指(不含拇指)由a转到b，(转过的角度<a，b>小于)，则伸开的拇指的指向c的方向大小:向量积、矢量积、叉积、外积(iii)(a+b)×c=a×c+b×c(ii)(ka)×b=k(a×b)=a×(kb)无消去律a×b=a×cb=c（1)定义:a×b方向:|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉a×b⊥a，a×b⊥b，依a，b，a×b顺序构成右手系（2)性质：(i)a×b=-b×a(无交换律)a×(b+c)=a×b+a×cabc

aba×b(坐标法证)(返)（3)几何应用：（i)求平行四边形的面积：（ii)求夹角：（iii)求平行四边形的高：（iV)a∥b|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉abhh=|b|sin〈a，b〉=|a×b||a||a×b||a||b|sin<a，b>=a×b=0练：设a,b

是两个向量,k,l是两个数,试证a×b与ka+lb

垂直例：试证(a-b)×(a+b)=2(a×b)3.2.4几何向量的混合积（1)定义[abc]=a×b·c（2)性质

轮换性：[abc]=[bca]=[cab]×与·互换性：a×b·c=a·b×c互换两向量,差一符号：[abc]=-[bac]=-[cba]=-[acb]（3)几何应用（i)

以a，b，c为棱的平行六面体体积:a×babcV=|[abc]|(返)=|a×b||c|cos<a×b,c>（ii)a，b，c

共面[abc]=a×b·c

=0a×b⊥c存在不全为0的数k、l、m使ka+lb+mc=0(4)例:已知a×b·c=2，求：[(a+b)×(b+c)]·(c+a)4空间四点

Mi

(xi

,yi

,zi

)(i=1,2,3,4)

共面

向量M1M2,M1M3,M1M4共面(M1M2,M1M3,M1M4)

=0x2–x1y2–y1z2–z1

x3–x1y3–y1z3–z1

x4–x1y4–y1z4–z1

=0x1

y1

z1

1

x2y2

z21x3y3z3

1x4

y4

z41=0平面三点

Mi

(xi

,yi)(i=1,2,3)

共线

向量M1M2,M1M3共线x1

y11

x2y21x3y31=0x2–x1x3–x1y2–y1y3–y1=空间直角坐标系yxozIIIIIIIVVVIVIIVIII1.坐标系的构造O;Ox,Oy,Oz;xOy,yOz,zOx;I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII返2.点M的坐标OxyzMxyzM(x，y，z)各卦限点坐标符号特点？各坐标面的点呢？各坐标轴的点呢？原点呢？（1）坐标平移公式O’x’y’z’(a，b，c)(x’，y’，z’)x’=x-ay’=y-bz’=z-c（2）两点间距离公式|OM|=√x2+y2+z2若M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)则|M1M2|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2卦限M(x，y，z),返3.向量的坐标（1）基本单位向量jk单位:ii·=jj·=kk·=1ijk×=两两垂直:ij·=jk·=ki·=0且右手系:ij×=kiki×=jkij×=-ijk×=-jki×=-（2）向量的坐标OMxyza=PrjX

+Prjy

+Prjzijkaaa

或记作:{ax，ay，az}a=ax

+ay+az

ijk若则称(ax，ay，az)为的坐标aOM=x+y+zijka=由知aax=PrjXaay=Prjyaaz=PrjzzOxyM1aM2若M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)M1M2OM2OM1=-=(x2–x1)

+

(y2–y1)

+

(z2–z1)

ijk=(x2

+y2

+z2)

ijk–(x1

+y1+z1)ijk终点坐标-起点坐标练习：已知M1(2,-2,1),M2(-3,2,-1)，求向量M1M2的坐标若M

(x,y,z),则OM=(x,y,z)即:M1M2=(x2–x1,y2–y1,z2–z1)3.向量运算的坐标形式=(ax,ay,

az)a=ax+ay+az

ijk=(bx,by,bz)b=bx+by+bz

ijk=(cx,cy,

cz)c=cx+cy+cz

ijk记则:=(ax±bx,ay±by,

az

±bz)a±

b(1)=(kax,kay,

kaz)=axbx+ayby+azbzab·(3)(4)a=b×az

axbzbxayazbybzax

aybxby，，jkiax

ay

azbx

by

bz=ax

ay

azbx

by

bzcxcy

cz(5)abc[]=证性质性质a(2)k返(6)模(7)方向余弦a||=√aa·(8)=a2x+a2y+a2z√cos

a2x+a2y+a2z√ax=cos

a2x+a2y+a2z√ay=cos

a2x+a2y+a2z√az=cos2+cos2+cos2=1ba∥axbxaybyazbz==ba⊥ax

bx+ayby+azbz=0a0=(cos,cos,cos)距离方向角i=<,>aj=<,>ak=<,>aaa||=链bac、、共面ax

ay

azbx

by

bzcxcy

cz=0a练:已知=(1,-2,3),=(2,1,0),=(6,-2,6).(2)求·,·,<,>ababcacbacca(1)+是否与平行?abcbabc(3)求×,[](4)设x=3+4-,y=2+

求<x,y>cb练1:已知A(1,0,-1),B(1,-2,0),C(1,1,1)(1)求以OA,OB为邻边的平行四边形面积.(2)求以O、A、B、C为顶点的四面体体积.（1）3;（2）（1）平行；arccos（3）（-3，6，5），0;（2）0，28，（4）0i练2:已知=,=-2,=2-2+求一单位向量,使⊥,且,,共面jbkciajkddcabd±（，，）kikij++或

i练3:已知=+,=+,jbkcajcab向量,,的长度相等,两两夹角也相等,求.分析（1）待定系数法（2）bac|（×）×|bac（×）×d=±分析两两内积相等设=(x，y，z)c则x+y=1y+z=1x2+y2+z2=13.3空间中的平面与直线图形的方程--图形上任一点M(x,y,z)满足此方程;满足此方程的点M(x,y,z)

一定在图形上.3.3.1空间中平面的方程垂直于平面的非0向量n平面的法向量—1.平面位置的确定:一点、法向量；三点；一点一外直线；两直线(2)三点式方程已知Mi(xi,yi,zi)∈

,i=1，2，3,则

M(x,y,z)∈M1MM1M2M1M3，，共面x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=02.方程:(1)点法式方程M0(x0,y0,z0)∈

,(A,B,C),

nM(x,y,z)∈A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0M0Mn⊥M0nM(4)一般式方程Ax+By+Cz+D=0（A，B，C至少一个不为0）（待定系数法）

A，B，C，D的意义：（系数与图形的关系）D=0--平面过原点A=0--（∥x轴）⊥x轴nA=D=0--A=B=0--过x轴∥z轴n（∥xoy面）A=B=D=0--

是xoy面(3)截矩式方程已知在三个坐标轴上的截距为p，q，r，则M(x,y,z)∈xpyqzr++=1（作图）例：求过x轴，且过点M（4，-3，-1）的平面方程（1）待定系数法By+Cz=0(2)三点式(3)点法式y-3z=0ba练：已知平面过点M0（2，1，0），且平行于向量=（1，0，1），=（0，1，0），求平面方程x-z-2=03.3.2空间中直线的方程平行于直线L的非0向量s直线L的方向向量—1.直线位置的确定:一点、方向向量；两点；两相交平面2.方程:(1)标准式(点向式)方程已知M0(x0,y0,z0)∈L

,(m,n,p),则

sM(x,y,z)∈LM0Ms∥x-x0my-y0nz-z0p==(2)参数式方程M(x,y,z)∈Lt∈Tx=x0+mty=y0+ntz=z0+pt(3)两点式方程已知Mi(xi,yi,zi)∈L

,i=1，2,则

M(x,y,z)∈Lx-x1x2-x1y-y1y2-y1z-z1z2-z1==(4)一般式方程（交面式）已知A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0交于一直线L,则L:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0例：求过点M0（2，1，3），且与直线L:垂直相交的直线L’方程.x+13y-12z-1==（1）两点式(3)点向式(4)交面式--求出L与L’的交点M1←参数式（2）两点式--求出过M0

垂直于L的平面与L的交点M1M0M2s’ss=（×）×L’--L与L’交的面n1M0M2s--=×--过M0

垂直于L的平面x-22y-1-1z-34==或(x+1)-2(y-1)+z=03(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0练:设直线L的一般方程为x-2y+4z-7=03x+5y-2z+1=0试求L的参数和标准方程.解=(-16,14,11)sn1n2×=jki1

-2

43

5

-2=在L上任取一点M0(,0,)57117L的标准方程为:57117x-

-16y-014z-

11==L的参数方程为:=tt∈Tx=–16t57117y=0+14tz=

+11t(添参)(消参)(拆等号)3.3.3距离点-点;点-线;点-面;线-线;线-面;面-面.点-点:|M1M2|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2点-线:LM0M1sdd=|×|||sM1M0s点-面:练:求点(1,0,2)到直线x-22y-1-1z-34==的距离.M0M1dnd=|·|||nM1M0n练:求点(1,-1,2)到平面2x+3y-z-5=0的距离.|Ax0+By0+Cz0+D||√A2+B2+C2

|=线-线(异面直线):x-x1m1y-y1n1z-z1p1==L1x-x2m2y-y2n2z-z2p2==L2M2s2M1s1L2dL1s1s2×d=|Prj

s1×s2

|M1M2练:求两异面直线之间的距离.x1y2z3==L1x-2yz-3==L23.3.4位置关系线-线;线-面;面-面.1.平面与平面Aix+Biy+Ciz+Di=0ii=1,2平行A1A2B1B2C1C2D1D2==≠A1A2B1B2C1C2D1D2===A1A2+

B1B2+

C1C2=0重合垂直两平面的夹角--=<,>n1n20≤

≤2|A1A2+

B1B2+

C1C2|√A12+B12+C12

√A22+B22+C22

=COSn2n12.直线与直线平行m1m2n1n2p1p2==m1m2+

n1n2+

p1p2=0重合垂直两直线的夹角--=<,>s1s20≤

≤2|m1m2+

n1n2+

p1p2|√m12+n12+p12

√m22+n22+p22

=COSi=1,2x-ximiy-yiniz-zipi==Lim1m2n1n2p1p2==且M1在L2上练:已知L2x=2tL1z=4ty=-3+3tx-11y+21z-22==问:L1与L2是否共面,是否相交,若相交,求其交点.解L1与L2共面M1M2s1s2[