第十章 离散时间：差分方程.电子教案教学课件

第十章离散时间：差分方程第1节引言和定义变量只在离散时间区间的结尾处才发生变化，而时间变量只能取非负的整数差分算子

定义的一阶向前差分为其二阶向前差分为

阶差分方程会涉及，其一阶向后差分为

二阶向后差分为

阶向后差分方程会涉及

帕斯卡（杨辉）三角形差分方程的表达式阶差分方程或者阶线性差分方程为

或者若系数为常数，则差分方程具有不变系数，若其等于零，则差分方程为齐次方程定理阶差分方程的通解中包括个任意常数。如果为非齐次线性常系数差分方程的特解而为对应齐次方程的通解，则为该非齐次方程的通解。如果和为二阶线性常系数齐次方程的特解，那么该方程的通解为，其中和为任意常数。第2节一阶线性常系数差分方程方程直接代入可知为该方程齐次形式的通解，而为该非齐次方程的特解，则方程通解为当时，，为的潜在均衡点第3节二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数方程齐次方程的通解辅助方程：

情形1：辅助方程不同实根

定理此时齐次方程的通解为情形2：辅助方程具有相同实根

定理此时通解为情形3：辅助方程具有共轭复根,

定理此时通解为其中，由定义非齐次方程的特解待定系数法例差分方程代入向前差分算子辅助方程为其根为重根，对应齐次方程的通解为对于方程右边的，待试特解为代入可得对于，先试解，但在齐次方程通解中已经出现，也是这样，则试解，代入可得整个部分的特解为非齐次差分方程的通解为特殊情形其一个特解（潜在均衡点）为辅助方程

情形1：辅助方程具有不等实根此时通解为当且仅当两根绝对值都小于1，时间路径收敛若两根均为负或者为负根绝对值较大，则时间路径存在振荡

情形2：相等实根，此时通解为

当且仅当该重根绝对值小于1时，时间路径收敛若该重根为负，则时间路径存在振荡

情形3：共轭复根，此时通解为必存在振荡，若，为爆炸式的振荡，若，所得时间路径为不断衰减的振荡且收敛于。

定义复数或的绝对值为三种情形都可能存在振荡，当且仅当每个根的绝对值都小于1时，所得时间路径收敛。第4节考察二次方程根的性质二次方程其根为有有如下关系：（i）若，则两根符号相同，若同时，则为两正根，若，则为两负根（ii）若，则一根为负而另一根为正。辅助方程其两根绝对值小于1的充分必要条件为：（i）（ii）（iii）第5节经济学应用蛛网模型基本蛛网模型需求：供给：供求相等可得一阶常系数差分方程其特解（潜在均衡点）为通解为已知，从而为负而的时间路径必然存在振荡，当且仅当时，该时间路径收敛

扩展蛛网模型需求：，供给：供求相等可得：其一个特解为辅助方程：情形1：不等实根此时其根为

两根都为负，存在振荡当下列条件成立时，时间路径收敛：（i），也即（ii），也即（iii），也即情形2：相等实根此时同样存在振荡，时间路径收敛的条件为或者情形3：共轭复根

此时存在振荡，根的绝对值小于1时时间路径收敛，即也即萨缪尔森乘数加乘数模型可得一特解（潜在均衡值）为辅助方程其根为

情形1：不等实根

两根都为正，不存在循环，设较大，至于是否收敛，分几种情形：（i）（ii）（iii）（iv）（v）考虑有（i）其为可行的（ii），其不可行（iii），其不可行（iv），其可行（v）和，可行还有两种可能的情形：子情形收敛无振荡时间路径，此时和子情形发散无振荡时间路径，此时和情形2：相等实根此时无循环子情形：时间路径收敛和子情形：时间路径发散和情形3：共轭复根必然存在振荡，是否收敛取决于复根的绝对值子情形