数字电子技术：第1章逻辑函数

数字电子技术要求与说明：1、遵守课上纪律，不讲话，不迟到，有事举手2、作业尽可能使用作业纸或同等大小的白纸，要求一周内完成，课代表统一收齐后上交。3、成绩评定：作业10%+实验10%+期末考试80%4、考试命题和范围5、实验安排、答疑6、全书概述和教学要求主要内容：

1、理解基本逻辑与复合逻辑

2、掌握逻辑函数的表示方法

3、掌握逻辑函数的运算法则

4、掌握逻辑函数的化简方法

5、理解正负逻辑问题第一章逻辑代数第一章逻辑代数（P11~P17）1.1概述

1、什么是数字电路？与模拟电路有何区别？

2、数字电路的特点

3、数字电路分类

4、脉冲基本参数1.2逻辑函数及其描述方法1.2.1逻辑变量研究数字电路因果关系的数学工具是逻辑代数，其中的变量称为逻辑变量。逻辑变量不代表数值大小，而是代表两种对立的逻辑状态，用0或1表示。如：电位的高低、开关的开合、事件的真假等。1.2.2三种基本逻辑运算与、或、非F

=f(A,B,C,…)1、“与”逻辑运算A、B、C条件都具备时，事件F才发生。EFABC&ABCF逻辑符号实现某逻辑功能的电路称为“门电路”F=A•B•C“与”逻辑的表达式、真值表逻辑表达式AFBC00001000010011000010101001101111真值表真值表2、“或”逻辑运算A、B、C只有一个条件具备时，事件F就发生。1ABCF逻辑符号AEFBCF=A+B+C逻辑表达式与真值表逻辑表达式AFBC00001001010111010011101101111111真值表逻辑表达式与真值表“或”逻辑的表达式、真值表3、“非”逻辑运算逻辑符号AEFRAF1A条件具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。关于逻辑符号问题的说明：图(a)是我国常用的传统符号，图(b)为国外流行符号，图(c)为国家标准符号。1.2.3复合逻辑运算“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以由它们为基础来表示。与非：“先与后非”&ABCF1.2.3复合逻辑运算或非：“先或后非”1ABCF与或非：“先与后或再取非”F1ABC&D同或：“相同为1”=ABF=A⊙B1.2.3复合逻辑运算=1ABF异或：“相异为1”CBBF1F1BCF2BCF3BCF4F2F3F4课上练习1.3逻辑代数的运算法则（P41~44）一、基本逻辑运算

从三种基本的逻辑关系出发，我们可以得到以下逻辑运算结果：0•0=0；0•1=0；1•0=0；

1•1=10+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=11.3逻辑代数的运算法则A+0=AA+1=1A•0=0•A=0A•1=A二、逻辑代数的基本运算规则1.3逻辑代数的运算法则二、基本代数规律交换律：A+B=B+AA•B=B•A结合律：A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•C分配律：A(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!1.3逻辑代数的运算法则证明：

A+B•C=(A+B)(A+C)

反证法：(A+B)(A+C)=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC1.3逻辑代数的运算法则反变量的吸收规则：例如：DCBCADCBCAA++=++证明：被吸收1.3逻辑代数的运算法则混合变量的吸收法则：证明：配项提取AB和ACA推广：CAAB+=CBCDAB++1.3逻辑代数的运算法则摩根定理：

可以用列真值表的方法证明：课上练习用公式法证明“同或”逻辑和异或逻辑之间互为反逻辑。1.4正负逻辑问题（P17）1、正负逻辑1.4正负逻辑问题正逻辑负逻辑与或或与与非或非或非与非异或同或同或异或ABF低低000低低高010低高低100低高高111高ABF低低111低低高101低高低011低高高000高正逻辑负逻辑一、关于异或逻辑的结论P161、奇数个1异或的结果为1，偶数个1异或的结果为02、偶数个变量的“同或”是这个偶数个变量相“异或”

的非3、奇数个变量的“同或”是这个奇数个变量的“异或”二、关于逻辑运算优先级问题P17说明：注：长非号是指非号下有多个变量的非号。1.4逻辑代数的基本定理一、代入定理

在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。例：知摩根定理；求证：；将和分别代入摩根定理得：；二、反演定理

对任意一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”、“+”换成“·”、0换成1、1换成0、原变量换成反变量、反变量换成原变量，则得到的结果就是｝“·”“+”

；10；AY｛运用规则：

1、优先规则：“先括号，再乘，最后加”

2、不属于单个变量上的反号保留不变例1：反演定理分配率二、反演定理例2：知利用反演定理求解：“先括号，再乘，最后加”不属于单个变量上的反号保留不变！三、对偶定理｝“·”“+”

；10Y｛Y’例如：

对任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”、“+”换成“·”、0换成1、1换成0，则得到一个新的逻辑式Y’，这个新的逻辑式Y’就是Y的对偶式。若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。证：

A+BC=(A+B)(A+C)Y’左=A(B+C)Y’右=

AB+AC=A(B+C)1.5逻辑函数表达式的标准形式一、逻辑函数的几种表示形式：怎样用逻辑符号画出对应形式的逻辑电路图？二、最小项表达式

1、最小项定义

2、最小项性质

3、最小项表达式1.5逻辑函数的最小项1.5逻辑函数的表示法（P46～P48）

逻辑函数的表示法主要有：真值表、逻辑函数、卡诺图、逻辑电路，四种表示方法。卡诺图主要用于对逻辑函数的化简，后面专门讨论。在此我们以一个实际问题看一看其余三种表示方法。

我们为交通信号灯设计一个故障检测电路，在正常情况下，只允许红、绿、黄灯单独亮，其余情况均为出现故障。1.5逻辑函数的表示法

如何设计呢？首先根据实际问题列出真值表，然后根据真值表写出逻辑函数式，再根据函数式画出逻辑电路图。

现在我们就根据这个顺序学习真值表、逻辑函数式和逻辑电路图。1.5逻辑函数的表示法

首先设R、G、A三个变量分别代表红、绿、黄三盏灯，规定灯亮为1、灯灭为0；用Y代表是否有故障，Y=0表示无故障，Y=1表示有故障。由此可见Y是R、G、A的函数，记作：

Y=F（R、G、A）下面我们开始学习真值表的列法。将所有输入信号状态按二进制递增顺序一一列出（n个变量可以有2n个组合），根据当时输入状态写出对应的输出状态。一、真值表在此R、G、A为输入变量，Y为输出变量。RGAY00010010010001111000101111011111二、逻辑函数式、最小项

把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式。通常根据真值表，用“与或”的形式写出逻辑函数式（其它形式及其使用将在后面讲解）。根据真值表可以得出：

若表达式的乘积项中包含了所有输入变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项，上式中每一项都是最小项。思考：表达式的含义？为什么用“+”

？三、逻辑相邻项概念

若两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别，则称它们为逻辑相邻项。请找出表达式中的逻辑相邻项：(思考)四、逻辑式与逻辑图之间的转换把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。&AB&CD1FF=AB+CD要求：会逻辑图与逻辑函数式之间的转换练习：逻辑图？RGAY&&&&&11111.6逻辑函数的化简

在前一节我们设计了一个交通信号灯故障检测电路，这个电路使用了3个非门、5个与门、1个或门。那么能否将使用门电路的数量再少一点呢？这就是本节要解决的问题。逻辑函数化简目的：

1、节省成本

2、减少故障率

3、减少信号干扰

所谓“最简”就是：设计出的逻辑电路中，使用门电路的数目最少，连线最少。

在实际应用中还要求使用集成门电路芯片数量也最少，充分利用集成门电路中的每一个门，尽量使IC门的规格和型号达到最少。1.6逻辑函数的化简

从真值表得到的逻辑函数通常是“与—或”式。如果式中包含的乘积项最少，乘积项中的变量因子也最少，那么该“与—或”表达式就是最简逻辑函数式。除了“与—或”式之外，还有“与非—与非”式、“与或非”式等，虽然形式不同，但都可以完成相同的逻辑功能，最终将逻辑式变换成哪种形式，主要取决于使用什么类型的门电路实现要求的逻辑功能。1.6.1利用公式化简逻辑函数交通信号灯故障检测逻辑式：重复使用RGAA+A=AA+A=1交通信号灯故障检测化简后的逻辑电路图实现的逻辑电路图RGA&&&&111Y1

如果用与非门实现，可将逻辑式化简为“与非—与非”，方法如下：A=A摩根定理

请大家自己练习一下，把该逻辑式用逻辑电路图表示出来。交通信号灯故障检测化简后的逻辑电路图

下面我们看几个公式化简法的例题，从而掌握一般公式化简的方法。实现的逻辑电路图RGA&&&&111Y&1.6.1利用公式化简逻辑函数例1：运用并项法和消因子法化简消因子法提出AB=1并项法提出A1.6.1利用公式化简逻辑函数练习：提取公因子法并项法1.6.1利用公式化简逻辑函数例2：运用摩根定理和吸收法A+AB=A吸收法用摩根定理去掉大非号1.6.1利用公式化简逻辑函数例3：运用消项法化简消项法：1.6.1利用公式化简逻辑函数例4：运用消因子法化简消因子法1.6.1利用公式化简逻辑函数例5：运用配项法化简配项法A+A=A例6：运用配项法化简配项法A+A=1提取公因子1.6.1利用公式化简逻辑函数？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！作业1：P695题中的（2）、（4）、（6）小题1.6.2卡诺图化简法（P49）

学习卡诺图化简法，我们首先要解决这样几个问题：

1、卡诺的图画法、相邻性与最小项的对应关系。

2、给出逻辑式如何填写卡诺图。

3、化简规则

4、根据化简后的结果，写出逻辑式。1.6.2卡诺图化简法一、卡诺图画法将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放在相临的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。

卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。1.6.2卡诺图化简法AB0101ABC0001111001两变量卡诺图三变量卡诺图1.6.2卡诺图化简法ABCD0001111000011110四变量卡诺图1.6.2卡诺图化简法ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元编号0010，对应于最小项：ABCD=0100时函数取值函数取0、1均可，称为无关项（约束项、任意项）。只有一项不同有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元编号。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7单元取1，其它取0二、卡诺图化简依据ABC0001111001ABC0001111001AB??BCABC0001111001ABBCF=AB+BC三、化简过程描述方法四、卡诺图化简规则：（1）组成矩形时，相临单元的个数应为2N

个，并将最小项尽可能多的进行组合。（2）各最小项可以重复使用。（4）每个矩形内至少应包含一个、或多个没有使用过的最小项。（5）利用无关项化简，可以使化简结果进一步简化。（6）化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。例：化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110AABCD0001111000011110ADBDBCDF=BD+AD+BCD练习：例：化简ABCD0001111000011110ABD例：已知真值表如图，用卡诺图化简。101状态未给出，即是无所谓状态。ABC0001111001化简时可以将无所谓状态当作1或0，目的是得到最简结果。认为是1AF=A练习1：ABCD0001111000011110CD练习2：ABC0001111001ABBC或练习3：约束条件：ABCD0001111000011110作业2：P69第6题中的(2)注：参考教科书例题第9题中的(1)注：只要求写“与---或”表达式第12题中的(1)本章小结逻辑运算、逻辑符号逻辑式逻辑图公式化简、卡诺图化简模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。数字电路的特点（1）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。（2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系。（3）对组成数字电路的元