概率论与数理统计：第4章正态分布1

2023/1/111一、正态分布的定义二、正态分布的数字特征三、正态分布性质四、中心极限定理第四章

正态分布基本内容：2023/1/112正态分布是最重要的概率分布(原因)：(1)很多随机现象可用正态分布描述或近似描述,例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等大量随机现象可以用正态分布描述.(2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从正态分布.(中心极限定理)(3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等)是由正态分布推导得到的.2023/1/113一、正态分布的定义定义.

设随机变量X的概率密度为则称X服从正态分布记作1.正态分布(Normaldistribution)或高斯分布),2023/1/1142.标准正态分布为标准正态分布,特别地,且其分布函数：则称N(0,1)其概率密度为2023/1/115(3)2023/1/1162023/1/117u01234567890.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63860.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94360.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.96332023/1/118证：Y的分布函数为①当a>0，有上式两边关于y求导，得性质1则(线性性)(2)当a<0，有2023/1/119特别地，则2023/1/1110设X表示“考生考试成绩”，问总分应是多少算上线？解：且总分上线应为x分.由题意知经查表考试成绩呈正态分布,例3.某省高考人数是35000人,计划招生3500人,占考生人数的2023/1/11111.期望E(X)二、正态分布的数字特征则解：奇函数=12023/1/1112则2.方差D(X)3.标准差正态分布的密度函数的性质与图形关于x=

对称（-，）升，（，+）降单调性对称性拐点钟形曲线：中间高两边低y-+x１2μ,σ对密度曲线的影响

2023/1/1115(

法则)求X落在内的概率.解:3倍标准差原理:

设0.9974F(x)是小概率事件

X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径的区间内2023/1/1116性质2可加性.

2023/1/1117则Z=X+Y的概率密度为则且X与Y相互独立,证明：特殊地设X和Y相互独立,且都服从N(0,1)即Z服从N(0,2).2023/1/1118推广到更一般的结论。性质3线性组合性.相互独立，2023/1/1119解:依题意求P(X≤Y)=P(X-Y≤0)由正态分布的线性组合性质知，X-Y服从正态分布即例5.2023/1/1120四、二维正态分布定义:设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度则称(X,Y)服从二维正态分布，记作2023/1/1121结论1设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布结论3结论2设X,Y的相关系数为ρ2023/1/1122四、中心极限定理客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布。2023/1/1123独立同分布的中心极限定理

设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,

服从同一分布，且有的数学期望和方差，则随机变量的分布函数满足如下极限式2023/1/1124定理的应用：对于独立的随机变量序列，不管服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布另一种形式：由题意相互独立且服从同一分布，且2023/1/1125例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.

(1)求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率；

(2)要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。解：(1)Xi表示第i位顾客的服务时间,i=1,2,…,1002023/1/1126例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.

(2)要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。解：(2)设能对N位顾客服务，按题意需要确定最大的N，使2023/1/1127定理2.[棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理]若随机变量ŋn

服从参数为n,p的二项分布，则则对于任何实数x，有定理表明，当n充分大时，二项分布的随机变量ŋn

的标准化变量近似服从标准正态分布，即而ŋn近似服从N(np,np(1-p)).2023/1/1128例7.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对

100名患者进行这种手术，以X记手术成功的人数.

(1)求P(84≤X≤95);

(2)求P(X≥90).解:(1)由题意知X~B(100,9),E(X)=np=100×0.9=90，D(X)=np(1-p)=100×0.9×0.1=9，2023/1/1129二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化，内容小结一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图像及性质；

三、掌握正态分布的数字特征；会利用标准正态分布表，求正态分布的概率；2023/1/11303(线性组合性).设且X、Y相互独立,则四、熟悉正态分布的性质则1(线性性).

若2(可加性).设相互独立，且则五、了解中心极限定理,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．2023/1/1131作业习题四(P114):1、2、4、10、11

15、16、182023/1/1132则X的数学期望为______;X的方差为______.备用题1.

已知连续随机变量X的概率密度函数为分析：经过整理得故E(X)=1,D(X)=1/2.2023/1/11332.

已知则Z服从（）分布.因为X,Y相互独立，根据正态分布的性质分析：故选C.2023/1/11343.

设随机变量X与Y均服从正态分布：2023/1/1135分析：故选B.2023/1/11364.解：得(2+2)2023/1/1137由独立同分布的中心极限定理，2023/1/11385.

某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户中被盗索