02平面简谐波方程

第十章波动与声振动状态随时间不断向外传播的过程称之为波动，简称波。波动是自然界广泛存在的一种运动形式.机械波：机械振动通过弹性媒质传播的过程电磁波：由电磁振动（荡）在空间（包括有介质或真空）传播过程机械波和电磁波本质上属于不同形式的物理过程，遵守不同物理规律。§10.1波的基本概念

一、波的概念

波动具有一定的传播速度，并伴随着能量的传播。波动具有时空周期性，固定空间一点来看，振动随时间的变化具有时间周期性，而固定一个时刻来看，空间各点的振动分布也具有空间周期性。波动具有可入性和可叠加性

1)机械波的产生条件

要有作机械振动的物体作为振源；有能传播这种波动的弹性媒质

2)机械波的传播特性

媒质中各质元都在各自平衡位置附近作振动，并末“随波逐流”波源的振动状态沿波射线的方向由近及远向外传播，因此沿波射线方向各质元的振动相位是逐一落后的。波的传播伴随着能量传播

二、波的分类、横波和纵波

按明显物理特征将其分为：声波、水波、地震波及光波等；按能量传播空间的维数可分为：一维、二维、三维波；按传播媒质的行为可分为：脉冲波、简谐波等；按质元振动方向与波动传播方向的关系可分为：横波和纵波

三、波的几何描写

波射线：波的传播方向一般可以用波线表示。波（阵）面：各振动相位相同的点的连面轨迹波前：某一时刻振动传播抵达点的连面轨迹

球面波和平面波§10.2平面简谐波方程波方程就是用已知波源的振动规律，表达出弹性媒质中各点的振动的规律y(x,t)平面简谐波是指：波源作简谐振动，媒质中各点按一定位相关系以同样频率作谐振动。其中“平面”两字是指简谐振动在媒质中无能量损耗地传播过程。可以证明任何非简谐的复杂的波，均可视为由若干个频率不同的简谐波叠加而成的。故研究简谐波仍具有特别重要的意义。说明：严格的简谐波只是一种理想化的模型。它不仅具有单一的频率和振幅而且必须在空间和时间上都是无限延展的，所以严格的简谐波是无法实现的。对于作简谐运动的波源在均匀、无吸收的介质中所形成的波，只可近似地看成是简谐波。一、平面简谐波运动学方程推导

我们借助于数学工具推导平面简谐波运动学方程1、导出波方程的思路

1)已知波源的振动方程，当振动传到各质元时，各质元都以相同的振幅、频率来重复波源的振动。2)波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元，沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。2、导出波方程步骤

1)

选定坐标并明确波的传播方向。2)给出波的传播方向上某点(参考点为波源)的运动方程。3)比较位于x处的任一点和参考点相位的超前和落后关系，由参考点的运动表达式即可得出波的表达式。可以看到沿x正向轴上各个点的运动形式与波源的运动形式相同，只是在时间上要落后。取坐标原点设在波源处。振源的运动规为：该振动沿x轴向传播。设：波的传播速度为v，那么原点o运动传到距原点为xp处的p点需要时间为：以前的状态。即t时刻点p的运动状态是o点时间时间后传到p点。o点的振动状态要经若t时刻o点运动方程为:那么p点运动方程为：即：我们没有对点作任何限制，故x轴上各点有：

该式含义是：

x轴上距o点x处的质元运动位相比原点落后这也可作为平面简谐波运动方程定义能否用“空间各点质元均以相同频率和相同振幅作简谐振动”作为平面简谐波定义？思考题：不行！这是因为平面简谐波不仅要满足时间上的周期性，还要满足空间上的周期性。改写以上方程为：我们定义为“波数”，

这样kx正与描述时间周期性ωt的位相相对应故kx体现了空间周期性，相当于空间上的位相。当波向x轴反向传播时（此时x轴正向各点位相比原点超前）故有：

注意：kx

前面的符号的含意！

3、平面简谐波方程的物理意义

运动学方程中有两个变量x和t，这反映了波动过程中时间和空间上的联系

而kx和ωt则反映了时间和空间周期性的联系。1）设x=x0时有:此即空间某点的振动方程。它表达了距离坐标原点为x0处的质点的振动规律。这尤如看宽银幕电影的某一点变化的画面。

是该点运动方程的初相位。不同的x0处对应有不同的初相。2）设t=t0时有:此即某一时刻空间各点的波形方程。它给出了该瞬时波射线上各质元相对于平衡位置的位移分布情况,表示某一瞬时的空间波形这如看宽银幕电影的某一时刻的画面。

是此时波形图的初相。不同时刻对应的不同初相。

3）若x和t两个都变化时，波方程就表示了波射线上所有质点在各个不同时刻的位移情况。

可以证明：其中处。这说明了t时刻的振动状态在时刻传到了二、频率、周期、波长与波速的关系波数

1、频率：质元单位时间内振动的次数2、周期：质元振动一次所需的时间3、波长：沿波传播方向上空间相邻同相位两质元（点）之间的距离（两点同步调运动称两点同相位）4、波数：2π长度上波的数目

k、λ均是描写平面简谐波空间周期性的物理量。有:周期T代表了波的时间周期性：从质点运动来看，反映在每个质点的振动周期均为T；从整个波形看，反映在t时刻的波形曲线与时刻t+T的波形曲线完全重合。波长λ代表了波在空间的周期性：空间相隔λ的两个质点其振动规律完全相同(两质点为同相点)；从波形来看，波形在空间以λ为“周期”分布着。所以波长λ也叫做波的空间周期。波动过程中，当空间某质元完成一个全振动后，振动状态在空间传播了一个波长λ距离，故应有：

或5、波速：单位时间内振动状态（位相）传播的距离。时间周期性与空间周期性的联系：角频率周期时间波数

波长

位置

三、平面简谐波运动方程的多种形式故一般有波方程表达式：对于更一般情况，振动源初位相为注：前面引入的波数k

，其含义是空间2π长度上“波的个数”。严格地波数是个矢量（波矢量），我们仅仅讨论一维情况，用代数量表示！

化简平面简谐波方程为最简形式例：p306

例1移动坐标原点使：说明：实际上解题时常可用结合物理意义讨论对照方法。

也可以改变计时起点使：§10.3波动力学方程

分别对时间、空间微商有将波运动学方程一、波动力学方程的一般形式

和比较两式有：此即一维平面简谐波方程。可以证明在三维情况下，若媒质各向同性且无吸收有：此即三维球面波方程二、弦的波动方程——波动方程的推导

Y方向受力X方向受力代回止式有将根据牛顿定律得：故有：故：设有：三、弹性绳上的横波

取一段绳元，其截面为S，长为Δx，剪切形变后两端受力有方程：略去高阶无穷小有：用ρ表示体密度

有：即：此即横波的方程，令：四、波速

波在媒质中的传播速度应取决于媒质的性质和状态，我们将上面方程与标准方程比较发现有剪切弹性形变引起的横波有：

拉伸弹性形变引起的纵波有：弦中的横波有：同样方法可求得体变形变引起的纵波有：（K为体变弹性模量）事实上由于密度、张力及弹性模量均与温度有关，波速一般随温度变化而改变

一个特例：水波波速为：

这不仅与媒质和状态有关，且与波长（频率）有关，这种现象称为色散又及：空气中的声波有：

或§9.4波的能量波即振动状态的传播，故波动同时伴随着能量的传播。对机械振动而言表现为机械能传播一、波的能量波动行为与时间、空间有关，我们分别从时间和空间角度讨论，然后综合时空来考虑其能量因为

故有体元的动能体元的势能：

我们以弹性切变引起的横波为例讨论其中：动能和势能具有相同的形式

前面有：体元的总能：1）

与振动情况不同，体元的动能和势能具有相同的位相；2）

体元总能不为常数，而是时间和空间的函数。这意味着波动过程上有能量的传播，即不断吸收、不断释放；3）总能量与振幅平方、圆频率平方在正比，与体元体积成正比。二、能量密度

这表明能量有个空间分布。能量密度：单位体元媒质具有的能量为进一步描述能量传播过程，我们讨论能量随空间分布平均能量密度：单位体元媒质一个时间周期内的平均能量得：单位体元随空间分布的平均值与时间无关，这正是我们所料的三、能量流为定量讨论能量流动情况，我们先研究某时间内通过某一截面的能量这正是某时间内波“上游”通过对“下游”所作的功，故也为波的功率

四、平均能（量）流将能（量）流对一个周期求平均得：这可理解为体积为体元中的能量在一个周期内全部通过了该截面1）能（量）流密度为进一步讨论能量随时间又随空间流动的情况，我们讨论某个时间通过单位截面的能量能（量）流密度

它反映了空间某处的功率密度，也称波的强度。严格地：2）平均能（量）流密度（平均波强度）同样取能（量）流密度对时间周期平均值得：可以这样看：单位时间内通过单位面积的能量为，或说单位时间内“上游”通过单位面积对“下游”所做功、或单位面积接收功率。1690年惠更斯为解释光的直线传播时用到一个原理：波动中波所抵达的每一点均可视为新的波源，而新的波前是这些点发出的球面次波的包迹（如图）。用该原理可以形象地说明球面波、平面波的传播；波的衍射；波在界面上的反射和折射。该原理同样可适用于弹性媒质中的机械波。然而该原理又很不完善，它甚至连波长概念都未能涉及，在许多问题中发生困难，而仅仅作为几何光学的一个原理，之后发展为惠更斯—菲涅尔原理。§10.5波的迭加一、惠更斯原理从物理学角度讨论音乐欣赏会。各种不同乐器发出的不同频率的振动源在空气中形成不同频率的波动，传入人耳后各种频率的波动所引起耳膜振动再次合成。尽管如此我们同样能辨别出大提琴和小号等各种乐器，也即合成时各分振动仍能保持原有各振动的特性。再如除了耳朵享用外还有福利享受。舞台上红、黄、绿光在空中交映形成新颜色，然而分开后依然我行我素，无线电波传播也是如此。大量实验事实告诉我们，当几个振动源所激发的波在媒体中某点相遇前后都能保持原有特征（波长、频率和振动方向），与波单独传播时一样。在相遇点媒质质元振动是各列波在该处所激发分振动的矢量和。这就是波的独立传播原理或称波的迭加原理。二、波的迭加(独立传播）原理并非所有波动均服从波的迭加原理，如强激光、冲击波。对于可变形媒质，每当形变与回复力的数学关系成简单比例关系，迭加原理成立。即之所以服从迭加原理是因为从数学角度看，波动方程能用线性方程表示的，电磁波符合迭加原理。三、波的干涉一般情况下，当两列波的频率、振幅、周期等不相等，在媒体中迭加行为比较复杂，没什么规律可言。只有当参与迭加的波符合一定条件时可以找到规律。1.

波的干涉当满足一定条件的两列波在空间迭加时，迭加结果有一定规律的分布：空间某些点振幅恒加强，某些点振幅恒减弱而形成固定的图象。这种行为称之为波的干涉。2.

相干条件两列波的频率相同，振动方向相同（或几乎相同），位相差恒定。称之为相干条件。3.

相干波符合相干条件的波互相称相干波，其波源称为相干波源。我们讨论两列相干波的干涉情况（如图）。P点的全振动方程有：设波源1振动方程为：波源2振动方程为：在空间某点P，两波源形成两列相干波在该点引起的分振动为：和其中分别为两波源到P点的距离由上一章节讨论的振动合成理论可知：其中对空间任意一点是个常数故而空间每一点均有稳定的振幅。当时：此为相长干涉点此为相消干涉点当时：考虑到波程差与位相差有如下关系：则用波程差表示的相长条件为：相消条件为：四、驻波我们讨论一种特殊的干涉情况：两相向而行的相干波的干涉。设两相干波的波方程为：迭加后有：此即驻波方程，下面我们考察其特点。1

振幅由驻波方程我们可以看到不同x处有不同的振幅。最大振幅发生在：对应有：此时振幅为2A，我们形象称之为波腹。最小幅发生在：对应有：此时振幅为零，我们形象称之为波节。相邻波腹（波节）之间距为而波腹、波节之间距为具体见图及演示位相问题同一波腹中的各点位相相同，相邻波腹中各点位相相反，即在波节两边相位发生突变。能量问题驻波方程不再具有行波方程形式，即位移不再是的函数，故驻波无能量传播。我们考察相邻波腹中各质元，处于平衡时媒质元形变为零，但其动能达到最大（见图），此时系统能量主要集中于波腹中央位置；而在振幅达最大时形变最大而动能为零，此时系统能量主要集中于波节处。可见能量在波腹和和波节处来回迂回而无宏观传播。事实上驻波只是一种特殊形式的振动行为，称其为“波”是徒有虚名波在界面上有反射、透射现象，当界面两边的波阻相差不多时，主要表现为透射；而当界面两边的波阻相差悬殊时，主要表现为反射。五、入射波和反射波、半波损失1

波在界面上的行为设入射波和反射波和透射波的振幅分别为则反射系数定义为透射系数定义为有实验证明与波阻有关，有：利用独立两个波源获取相干条件常有困难，技术上常采用入射波在界面上的反射来获取反射波。因为出于同一波源，故符合“相干”条件。如在电动音叉装置。我们用改变滑轮上的物体质量即用改变绳中的张力来改变波速，这样便可得到不同波长的驻波。2半波损失当波在波阻小（相对称波疏媒质）上反射时，入射波和反射波在界面上引起的振动位相相同；而当波在波阻大（相对称波密媒质）上反射时，入射波和反射波在界面上引起的振动位相差，我们称之为半波损失。（具体机理在电动力学中解决）由实验得弦在自由端反射时无半波损失，而在张紧端反射时有半波损失。上面电动音叉装置中滑轮处振幅为零，故对应于波节，这说明入射波和反射波位相相反，称之为“半波损失”。若在自由端，则无半波损失。附：反射波画法（见图）无半波损失：将延续的入射波反向“复制”过来即可；有半波损失：将延续的入射波“延迟”半个周期再反向“复制”过来即可。（费曼“物理学讲义”p235）§10.6多普勒效应由于波源或媒质相对观察者运动而使观察者检测波频率有所改变的现象称之为多普勒效应。设波源相对媒质的速度为原定义波速为观察者相对媒质的速度为一、波源、观察者相对媒质静止这时设检测频率为（即单位时间内仪器即人耳所接受到波的个数）为：这儿为波的频率为波速二、波源相对媒质静止、观察者运动设观察者运动速度为（向波源方向）单位时间通过观察者波面为：若观察者逆向波源方向运动有：，综合后有：三、观察者相对媒质静止、波源运动：计时开始波源位于以后每隔一个周期波源前进这相当于波长缩短了即此时波长为：频率为：综合后有：波源运动：观者运动：两者之比为：四、观察者与波源均相对媒质运动：这时有：如果相对运动不发生在同一直线上只要将运动投影该直线上即可。多普勒效应是波动行为的共同特征，机械波、光波、电磁波均有。但是电磁波的传播不依赖于媒质，故研究其效应必须以狭义相对论为依据。根据光速不变原理和相对性原理，研究中不会出现上面的波源、观察者与媒质间的运动问题，不然就会出现惯性系的那个运动那个静止的问题（那样就违背了相对性原理）。当波源与观察者以v沿连线走近有频率变化为：参考！！§17－9多普勒效应

当波源S和接收器R有相对运动时,接收器所测得的频率R不等于波源振动频率S的现象一.机械波的多普勒效应参考系:媒质

符号规定:

S和r相互靠近时Vs,Vr为正r·Vr·SVs

S:波源振动频率,:波的频率,r:接收频率1.波源和接收器都静止(VS=0,Vr=0)

r

==S.2.波源静止，接收器运动(Vs=0)Su单位时间接收到完整波的各数3.波源运动，接收器静止(Vr=0)

u4.波源和接收器皆运动若S和r的运动不在二者连线上有纵向多普勒效应无横向多普勒效应例讨论声波在情况下的物理图象马赫锥§10.7声波、声速

一、声振动、声波频率在的振动所激发的波能引起人耳的听觉，其振动称之为声振动。所激发的波为可闻声波。超声波:频率在的振动所激发的声波,一般可由石英晶体弹性振动而产生（压电效应），其波长短到可与可见光相比。特超声波:频率在的振动所激发的声波。次声波:频率在范围的振动所激发的声波，一般由大振动源产生，如地震波。研究声波的产生、传播及其接收的科学。声学初期主要为视听服务，与生活关系密切，如改善音质，减少杂音使之更悦耳。历史上我国在这方面颇有成就，北京的回音壁、山西的蛙声塔和四川的音乐鱼、三声石。随着科学发展声学进入了新领域：研究材料的微观结构（超声波探伤）；利用声波进行化学反应。声波几乎成了机械波的代名词。声学又可进一步分为水声学，建筑声学和语言声学等。

二、声学:三、超声波的传播特性及其应用:高频超声波的传播特性:方向性好，穿透率强，在固液体中衰减极小。可作为声纳仪器源（定向）、探伤（在杂质界面有反射）定位。因传播特征与材料的物理特性有密切关系，可以制成测量各种物理量的仪器，如弹性模量、密度、气体成分和强度等等。四、典型应用超声波的机械作用：超声不仅能使物质作剧烈的强迫振动，且能产生单向力，可用于焊接、钻孔、洗尘和除尘等。超声波的空化作用：通常情况下液体中常常有小气泡，可能为真空或少量气体，超声作用时那些小于共振尺寸的小气泡逐渐增大，接近共振尺寸时迅速膨胀直到湮灭，同时产生上千度高温及高压并伴有电发光现象—称之为空化。常常用于化学反应，粉碎物质。超声的热作用：吸收超声波后，温度升高，大量转化为热能局部呈高温。五、气体中的声速:当液体发生容变时，空间某点的压强要发生变化，设未受干扰时，干扰时压力为的压力为，有：其中:

代入上式得：由绝热方程对V求微商得：,比较有：与前面对理想流体得：§10.8声压、声强一、声压媒体中某点的压强与未扰动时的静压压强差定义为声压：，究其原因是因声振动导致空气中各点振动而形成疏密不同区域，稀疏区压强小于静压为负，密集区压强大于静压为正。声压单位为巴：下面我们定量计算声压：

，原波动方程有：故有：最大压强差为。注意到质元振动速度为故声压与波速位相相同。