空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标:1、熟练掌握异面直线定义；2、理解掌握空间两直线的位置关系;3、熟练掌握平行公理4，并会简单应用;4、理解掌握等角定理及其推论;5、熟练掌握异面直线所成角定义；6、掌握求两异面直线所成角的方法。重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理的应用。难点：异面直线所成角的计算。相交平行相交（有一个公共点）平行（无公共点）aboab一、复习与准备：平面内两条直线的位置关系

那空间中两直线还有没有其他的位置关系呢？思考看一下生活中的例子：立交桥中,两条路线AB,CDABCD思考一

2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？找不到一个平面使得直线a,b在同一共面内！结论ab1.直线a,b相交吗？不相交不平行3.能否找到一个平面,

使得a,b两条直线都在这个平面内？不同在

一个平面内的两条直线叫做异面直线。1.异面直线的定义:定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面，使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。注1例子：如图,在长方体中，与AE异面的直线有？判断AB与HG是不是异面直线？ABGFHEDCAB与HG不是异面直线。任何二、合作探究2.异面直线的画法αab图1αβba图2αab图3判断题1平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。ba答：错。a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

分别在两个平面内的两条直线一定异面。abab判断题2注2在不同平面内的两条直线不一定异面。①从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点---------相交直线在同一平面内--------相交直线②从是否共面的角度没有公共点---------平行直线异面直线不同在任何一个平面内---------异面直线平行直线若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行

3.空间两条直线的位置关系及其分类4、平行直线公理４平行同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设a，b，c为直线a∥bc∥ba∥cabc(空间、平面平行线的传递性)公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。思考：在平面内我们知道平行于同一直线的两条直线相互平行。那么在空间中成立吗？例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证EFGH是一个平行四边形只需证EH∥FG且EH＝FGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDAB

DEFGHC证明：∵EH是△ABD的中位线

∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形连结BD思考:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?5.

等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O

则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角。？任选Oa′异面直线所成角θ的取值范围：

平移6.

异面直线所成的角若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。例2:

如图表示一个正方体:(1)求直线BA1与CC1的夹角的度数.(3)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？BACDA1B1C1D1典例剖析(2)求直线BA1与B1C的夹角的度数.解：(1)由BB1//CC1可知，∠B1BA1为异面直线BA1与CC1的夹角，∠B1BA1=45度，所以直线BA1与CC1的夹角的度数为45度。

如图,已知长方体ABCD-EFGH中,

AB=,AD=,AE=2

(1)求BC和EG所成的角是多少度?

(2)求AE和BG所成的角是多少度?(1)∵GF∥BC∴∠EGF为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o例3:ABGFHEDC2NEXTBACK求异面直线所成的角的步骤是:

一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角注4异面直线所成角的求法：1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(

)A．3条

B．4条C．6条

D．8条解析：

在正方体中与AC1异面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6条．答案：

C2．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(

)A．共面

B．平行C．异面

D．平行或异面答案：

DABC1B1A1DCD1三、巩固练习：ABCDA1B1C1D1MN3、在空间四边形ABCD中，已知E,F分别是AB,CD的中点，且EF=5,AD=6，BC=8，求AD与BC所成的角。4已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中M,N分别是棱CD,AD的中点。（1）求证：四边形MNA1C1是梯形。（2）求证：∠DNM=∠D1A1C1==ABCDA1B1C1D1MN[解题过程]

证明：(1)(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线

平行直线异面直线空间两直线的位置关系四、课堂小结公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行