07趋势外推预测方法

第七章趋势外推预测方法§7.1趋势外推预测法概述§7.2多项式曲线法§7.3指数曲线法§7.4修正指数曲线法和双指数曲线法§7.5生长曲线法§7.6增长型曲线模型的识别方法§7.7增长型曲线模型的参数估计§7.8包络曲线法1§7.1趋势外推预测法概述统计资料表明，大量社会经济现象的发展主要是渐进型的，其发展相对于时间具有一定的规律性。趋势外推预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的预测方法。趋势外推法的假设条件是：

(1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。

(2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。2由以上两个假设条件可知，趋势外推预测法是事物发展渐进过程的一种统计预测方法。简言之，就是运用一个数学模型，拟合一条趋势线，然后用这个模型外推预测未来时期事物的发展。趋势外推预测法主要利用描绘散点图的方法(图形识别)和差分法计算进行模型选择。主要优点是：可以揭示事物发展的未来，并定量地估价其功能特性。趋势外推预测法比较适合中、长期新产品预测，要求有至少5年的数据资料。3趋势外推法首先由R.赖恩（Rhyne）用于科技预测。他认为，应用趋势外推法进行预测，主要包括以下6个步骤：

（1）选择预测参数；

（2）收集必要的数据；

（3）拟合曲线；

（4）趋势外推；

（5）预测说明；

（6）研究预测结果在制订规划和决策中的应用。趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以此规律进行外推。为了拟合数据点，实际中最常用的是一些比较简单的函数模型，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等。4趋势外推预测可以分为两大类：时间序列趋势外推预测增长型曲线外推预测本章主要讲述增长型曲线外推预测，并对时间序列趋势外推预测进行简单回顾（§7.1）。时间序列趋势外推预测又可以分为：样本序列具有水平趋势的外推预测法样本序列具有非水平趋势的外推预测法样本序列具有线性趋势的外推预测法样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法51、样本序列具有水平趋势的外推预测法（1）朴素预测法（2）平均数预测法2、样本序列具有非水平趋势的外推预测法（1）加权移动平均法式中，为加权因子，满足6（2）一次指数平滑预测法3、样本序列具有线性趋势的外推预测法（1）二次移动平均值预测法（即趋势移动平均法）7(2)二次指数平滑预测法84、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势T、周期变动C、季节因素S和随机因素I，并有如下三种模型：乘法模型：Y=TCSI

加法模型：T=T+C+S+I

混合模型：Y=TC+SI

下面分别介绍加法型和乘法型序列的趋势外推预测方法。9（1）加法型序列的外推预测法假设样本序列为序列yt是加法型，即10求yn+T的预测值，预测步骤如下：第一步，对样本序列做时段长为3的滑动平均，消去随机干扰，记滑动平均后的序列为第二步，对求出趋势线第三步，将序列yt消除线性趋势因素的影响，求出消去趋势影响后的序列值Mt

第四步，将Mt值按季节次序重排，如下表1所示，在此假定t=1代表春季，n=20.11对表7.1.1各列算出平均值，依序记为，分别表示样本序列的季节指数。表7.1.112第五步，对样本季节指数进行检验，若，则符合季节指数的条件，否则，则需对样本季节指数进行修正。

修正的方法是：若，则将每个减去3/4，即令标准化的季节指数为Si：那么有第六步，运用已求得的Tt，Si即可进行预测，由于是不可预测的随机干扰，由此得到13例：某市的啤酒销售量有如表7.1.2的数据序列，试求出第21，22，23，24季度的啤酒销售量的预测值。表7.1.214解：第一步，按滑动时段长N=3，求出序列的滑动平均值，削去随机干扰，显出趋势求出趋势线的方程第二步，计算，并将Mt按季节排列，如表7.1.3所示，由于，故需对进行修正，修正后的，即第三步，进行预测，15表7.1.316（2）乘法型序列的外推预测法

设样本序列为，外推预测公式可表示为现介绍求估计值的传统分解方法。第一步，对yt序列值分解出长期趋势因素。假设季节长度为4，只要将序列作滑动长度为4的滑动平均时，即可消除随机干扰和季节波动影响。记滑动平均值为则滑动平均后的序列，即为线性趋势因素，故有（2-1）（2-2）17第二步，对yt分解出季节因素与随机因素，根据以去除yt，得到该式只含季节因素和随机因素两个分量。第三步，从中分解出季节因素St。由于，故可采用平均的方法可以消除随机性影响。但简单的平均可能把季节影响也消除掉，因此，为保留季节性影响，可将序列(2-3)式按春、夏、秋、冬顺序逐年逐季排列，然后，将各年相同季节的相加起来进行平均，这就达到了保留季节性，消除随机性的目的。

（2-3）18表7.1.4例如，有表7.1.4的数值表，将该表的春季这一栏的值相加求平均值，就得到了消除随机性的春季季节指数。类似可以求出夏、秋、冬各季的季节指数。分别记为：将这些值相加，得到，与标准的季节指数和有差异，这是由于样本的随机性所致。为使所求的季节指数比较接近标准的季节指数，必须对上述样本季节指数进行调整，使调整后的季节指数总和恰为400。通过调整，季节指数的含义更加明显了。19第四步，运用(2-2)式的滑动平均后得到的数据序列，建立线性趋势方程，记为第五步，根据第三、四两步得到的季节指数St和Tt，即可按要求进行预测，预测公式是20例：某地某种服装的销售量有下述季度销售数据，见表7.1.5。根据表5的数据，绘制出销售量依时间变化的图形(见图7.1.1)。从图形可以明显地看出，序列呈季节性变化，季节长度为4。此外，序列有线性长期趋势，按乘法型序列外推预测法的基本原理，其模式为试求2000年春、夏、秋、冬各季某种服装的销售量预测值。21表7.1.522图7.1.123解：第一步，根据表7.1.5的数据，进行滑动时段长为4的滑动平均，得到如表7.1.6的滑动平均值。这些数值消除了季节波动与随机干扰的影响，显示出序列的趋势变化，见表7.1.6中Tt列中的数据。第二步，将表7.1.6中yt列中的数据除以Tt列中的数据，即得到列的数据，这表示已将从yt中分离出来。第三步，从序列中消除随机性的影响，分离出季节因素。24表7.1.625表7.1.726将表7.1.6中列的数据，按年、季重排，如表7.1.7，然后，分别计算各季度的均值，这样便消去了随机性，保留了季节性。各列的平均值，即为各季的季节指数，又称为样本季节指数，对各样本季节指数求总得与标准季节指数有差异，因此，要作必要的调整，调整的方法是将乘以修正系数由此，得到调整后的季节指数为27第四步，求出趋势直线方程参数的求估，可用目估法或最少二乘法求出。用目估法求得，则有第五步，进行预测，2000年春季相当于第37季度，由此得到2000年各季度某种服装的销售量预测值为28时间序列的基本特征是：其数值是依时间的变化而变化，起伏交替，有起有伏的，有些有某种变化趋势。增长型曲线是描绘技术或经济领域中的某些指标依时间变化而呈现出增长(下降)规律性的一种曲线。在取得技术、经济指标的样本序列之后，通过建模，进行外推预测，是一种常用的预测方法。如新技术、新产品的发展和更新换代过程，需求增长规律等均可以增长型曲线来描绘。从第二节开始将介绍增长曲线的基本类型和特征，增长曲线模型的识别方法及其参数估计，最后给出预测的案例。29

§7.2多项式曲线法这种增长曲线是一些不同次数的多项式。一般的k次多项式为：上列多项式中，均是模型参数，t是时间变量，yt是经济指标值。若k不超过3，则参数有明显的经济意义，a0为t=0时序列的初始值，a1可解释为增长的变化速度，a2为加速度，a3为加速度的变化率。301、若增长曲线是一次多项式，则由是常量，表明yt依时间变化过程是一个均衡发展过程。2、若增长曲线为二次多项式，其图像是二次抛物线。它分为两支，一支增长为正，一支增长为负。如图7.2.1所示。因为则，ut是一直线方程，相应地是一常数，说明它的二阶增长与时间变化无关。31图7.2.1（a）（b）32若以一阶差分代替一阶微分，二阶差分代替二阶微分，并记类似地以三阶差分代替三阶微分，那么，对三次多项式，就得到由此得到以下基本规律：若增长曲线为一次曲线，则一阶差分为常量；若为二次抛物线，则二阶差分为常量，余此类推。33§7.3指数曲线法许多系统特征数据序列，如反映技术进步或经济增长的时间序列数据，在其未达到饱和状态之前的成长期内，往往遵循指数曲线增长规律。因此，对发展中的事物，可以考虑用指数曲线进行预测。指数曲线预测模型为：其中，a，b为模型参数；t为时间变量；yt为经济目标值。341、对于模型当a>0时，若b>0，那么增长曲线yt随着t的增加无限制的增大；若b<0，那么增长曲线yt随着t的增加而下降；当t趋向无穷时，yt趋向零。yt以yt=0为其渐近线。如图7.3.1所示。其特征为：（1）其本质是具有不变增长速度的线性型增长曲线。对模型两边取对数，即得：令则（2）是一个常数。352、对于模型当a>0时，若b>1，那么增长曲线yt随着t的增加无限制的增大；若0<b<1，那么增长曲线yt随着t的增加而下降；当t趋向无穷时，yt趋向零。yt以yt=0为其渐近线。如下图示：其特征为：（1）其本质是具有不变增长速度的线性型增长曲线。（2）

是一个常数。36或者，判断依据可为：当时间序列各期观测值的一阶差比率大致相等，就可以用此指数曲线进行预测。指数曲线模型差分计算表见下表：37例7.3.1：某商品1995—2003年投入市场以来，社会总需求量统计资料如表7.3.2所示，试预测该商品2004年的社会总需求量。38解：第一步，选择预测模型。(1)描绘散点图，根据散点图分布来选择模型(见图7.3.2)。可以初步确定选用指数曲线预测模型：39(2)计算一阶差比率(如表7.3.3所示)，并结合散点图最后确定选用哪一种模型。由表7.3.3可知，观测值yt的一阶差比率大致相等，符合指数曲线模型的数字特征。通过以上分析可知，所给统计数据的图形和数字特征都与指数曲线模型相符，所以，可选用模型40年份199519961997199819992000200120022003时序（t）1234567897.117.606.116.617.117.618.058.619.11表7.3.4观测值数据转换表经计算后得：第二步，求模型参数。先对观测值yt的数据进行变换，使其满足其变换数据如表7.3.4所示。41根据直线模型，用OLS法可求得：所求指数模型为：第三步，预测2004年的需求量为42§7.4修正指数曲线法和双指数曲线法一、修正指数曲线法采用指数曲线外推预测，存在预测值随着时间推移无限增大的问题。这与客观实际是不一致的，因为任何事物的发展都有其一定的限度，不可能无限增长。例如，一种商品的销售量，在其市场成长期内可能会按指数曲线增长。但随着时间的推移，其增长的趋势可能会减缓以至于停滞。对于这种情况，可以考虑改用修正指数曲线进行预测。修正指数曲线预测模型为（7.4.1）式中：a，b，c均为待定参数。43式（7.4.1）描绘了发展过程有饱和现象的一种增长规律，其中a为饱和值或极限值。

y=a为yt的渐近线，当b>0，yt以a为下渐近线；当b<0，yt以a为上渐近线。参数c可能大于1，也可能小于1，但大于0。这种曲线的主要特征是：线性地变化。对式（7.4.1）两边对t求微商，则有令，则由此可见是t的线性函数。44修正指数曲线模型差分计算表见表7.4.1。45为求出a，b和c三个参数，可应用分组法，通常的做法是：

先把整个时间序列数据分成三组，使每组数据个数相等，然后通过各组数据之和求出参数的具体数值。设数据序列（能够被3整除）为：将其分成每组数据个数相等的3组

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：各组数据之和分别记为：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。46将第Ⅰ组数据分别代入式（7.4.1），有对上述各式两端求和，得47同理，可得48通过求Ⅱ-Ⅰ、Ⅲ-Ⅱ，并令二者相除，整理得c、b、a为49例7.4.1：某商品1995—2003年的销售量资料如表7.4.2所示，试预测2004年的销售量。解：

第一步，选择模型。

(1)描散点图，初步确定模型形式。由散点图7.4.2可以初步确定选用修正指数曲线预测模型50(2)计算一阶差比率(如表7.4.3所示)。由表7.4.3可知，yt的一阶差比率大致相等。所以，结合散点图分析，最后确定选用修正指数曲线模型进行预测比较适宜。第二步，求模型的参数(计算表如表7.4.4所示)。5152由表7.4.4有所求模型为第三步，进行预测。即53二、双指数曲线法双指数曲线模型其中a、b、c均为参数，t为时间变量。将上式两边取对数，得到令则有故称此种曲线为对数抛物线。由(7.4.2)两边对t求微商，得到若令，则得到双指数曲线的增长特征是呈线性变化。（7.4.2）（7.4.3）54§7.5生长曲线法生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度达到最快而后逐渐变慢；衰老期则几乎停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线(称为S曲线)。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线，即龚珀兹曲线和皮尔曲线（也叫逻辑增长曲线）。55一、龚珀兹曲线模型及其应用龚珀兹曲线和皮尔曲线，均属于生长曲线回归预测方法。龚珀兹曲线多用于新产品的研制、发展、成熟和衰退分析。工业产品寿命一般可分为四个时期：一是引入期；二是成长期；三是成熟期；四是衰退期。龚珀兹曲线特别适宜于对处在成熟期的商品进行预测。龚珀兹曲线预测模型为（7.5.1）式中：a，b，k——待定参数，k又称极限参数，t为时间变量。随a，b取值的不同，曲线有四种类型，如图7.5.1所示。56图7.5.1

龚珀兹曲线一般形状57对（7.5.1）式两边取对数，得到令则可见，它是一种修正的指数曲线，其参数k1，a1，b的求法同前，可用分组法求得。（7.5.2）（7.5.3）581、曲线的性质可通过对（7.5.2）式求一阶和二阶导数得到：由此可知：当b>1，>0时，有均大于零，所以与均是增函数，增长曲线是yt是凸的。参见图7.5.1中的曲线Ⅳ，它说明了预测目标值随时间的延长而不断地增加。当1>b>0，<0时，有>0，<0，这说明了是时间t的增函数，但则是减函数。由此可知，目标值y虽然随着时间的推移仍保持增长，但增长的速度却在下降，因此，y的图像时凹的，参见图7.5.1中的曲线Ⅰ。59当b>1，<0时，有<0，<0，说明与均随t的增大而下降，因此，y随t的增大而不断下降，参见图7.5.1中的曲线Ⅱ。当0<b<1，>0时，有<0，>0，从而不断下降，其图像如图7.5.1中的曲线Ⅲ所示。2、龚珀兹曲线的增长变化特征由(7.5.1)式两边对t求微商，得令，代入上式，并两边取对数，即得是t的线性函数。60龚珀兹曲线对数一阶差的比率表见表7.5.2，当一组统计数据对数一阶差的比率大致相等时，就可选用龚珀兹曲线进行预测。

61例7.5.1：某公司1995—2003年的实际销售额资料如表7.5.1所示。试利用龚珀兹曲线预测2004年的销售额。62第一步，计算参数k，a和b。即第二步，把k，a和b代入公式，即可得预测模型第三步，进行预测，即63二、皮尔曲线模型（逻辑增长曲线模型）皮尔曲线多用于生物繁殖、人口发展统计，也适用于对产品生命周期进行分析预测，尤其适用于处在成熟期的商品的市场需求饱和量(或称市场最大潜力)的分析和预测。皮尔曲线函数模型为其中k，a，b是参数，k称为极限参数，它意味着yt处于饱和状态时的值。其图像如图7.5.2所示。（7.5.4）64图7.5.21、曲线性质如图7.5.2这种曲线以其转折点为中心，两边是对称数，当；当。因此它有上、下两条渐近线y=k与y=0。图7.5.2描绘了这样一种发展过程：初始阶段发展是缓慢的，接着是急剧的增长阶段，然后是一个平稳的发展时期，最后达到饱和状态。这是许多技术的发展或某些产品销售特性的表现形式。例如，企业集团形成发展行为，技术创新扩散的基本规律，电视机、缝纫机的普及过程等均遵从这种S型曲线的增长规律。

652、逻辑曲线的增长变化特征为求出逻辑曲线的增长变化特征，首先对(7.5.4)求导数，得到从而令，对上式两边取对数，得到由此可见，是t的线性函数。66参数k，a，b的求取：最常用的方法是倒数和法。对式(7.5.4)两端取倒数，得式(7.5.5)在形式上已与式(7.2.1)表示的修正指数曲线相同。用倒数和法确定参数k，a，b的具体步骤为：(1)收集的历史统计数据的样本数要能够被3整除，设为(2)将收集到的数据分成每组数据个数相等的3组（7.5.5）Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：67(3)对各组中的样本数据yt取倒数，用前述分组法步骤可进一步求得k，a，b的值。Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：记：则：68生长曲线模型（Growthcurvemodels）可以描述事物发生、发展和成熟的全过程，是情报研究中常用的一种方法。生物群体的生长，例如人口的增加、细胞的繁延，开始几乎都是按指数函数的规律增长的。在达到一定的生物密度以后，由于自身和环境的制约作用，逐渐趋于一稳定状态。通过对技术发展过程的研究，发现也具有类似的规律。由于技术性能的提高与生物群体的生长存在着这种非严谨的类似，因而可用生长曲线模拟技术的发展过程。生长曲线法几乎可用来研究每个技术领域的发展，它不仅可以描述技术发展的基本倾向，而更重要的是，它可以说明一项技术的增长由高速发展变为缓慢发展的转折时期，为规划决策确定开发新技术的恰当时机提供依据。有些经济现象也符合或近似生长曲线的变化规律，因而它也完全可以用来研究经济领域的问题。69§7.6增长型曲线模型的识别方法在实际预测工作中，通过调查收集到按时间序列变化的系列数据之后，如何根据这些数据，建立增长曲线模型?即在上述6种曲线中，选择哪一种模型最合适?这就是增长曲线模型的识别问题。下面介绍几种识别方法。701．目估法（或图形识别法）这种方法的基本做法是：将调查观测得到的数据点绘在以时间t为横轴，观测值或它的对数值为纵轴的坐标纸上，根据其变化动态构成的图像，选择合适的曲线。一般说来，若动态序列接近一条直线，则选配直线模型；若其对数值在半对数坐标纸上构成的图像接近一直线则选配简单指数曲线。这种直观方法的优点是：简单方便，缺点是：主观因素较多，而且在很大程度上依赖于图形的大小。但是，在序列的发展趋势及其构造比较简单的情况下，目估法也常常能得到比较满意的结果。712．残差平方和最小的识别方法这种方法是以残差平方和最小作为识别增长曲线模型的最优准则。即：最小。这种方法看起来是比较科学的，排除了目估法中的主观因素，但在多项式曲线的模型识别中，用这种方法识别的曲线就不一定是“最优”的。因为，它的“最优”，只能说明历史数据的拟合情况，而不能说明它的未来发展趋势，因此，这种曲线在预测的前提下不一定是最优的。723．增长特征法所谓增长特征法就是以研究动态序列的增长变化特征与增长曲线的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就是选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实际变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。此法的应用步骤如下：(1)计算样本序列的滑动平均值。采取这一步骤的主要目的是消除样本序列的随机干扰成分，以突出序列本身的固有趋势。滑动平均值的计算公式是：2p+1称为滑动时段长，其大小由实际经验确定。73(2)计算序列的平均增长。平均增长的计算公式为当直线方程中，b表示平均增长，故它的计算公式是74(3)计算样本序列的增长特征。在§7.2-7.5节中，介绍了增长曲线的不同类型及其特征，我们可以根据这些特征，识别样本序列属于何种增长曲线类型。为消除随机干扰的影响，序列值应以经过滑动平均后的值代替，序列的增长值应以平均增长值代替。根据§7.2-7.5介绍的增长曲线特征，得到如下的增长曲线模型识别表(见表7.6.1)。75表7.6.176例：已知某地的卷烟生产有如下的产量记录(见表7.6.2)，识别其增长曲线类型。表7.6.2解：采用增长特征法进行识别。首先，以三年滑动平均值作值，然后以计算平均增长，得到如表7.6.3所列的序列与。从表7.6.3可见，(5)，(7)，(8)三列均有线性变化的特征，那么选取何种曲线是最优的选择?通常的办法是比较这三者的线性关系的密切程度，也就是分别计算出与时间t的线性相关系数，从中选取最大相关性函数。

77表7.6.378

4、差分法：利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。一阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为：

79差分法识别标准：差分特性使用模型一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次线性模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型对数一阶差分比率相等或大致相等龚珀兹曲线80§7.7增长型曲线模型的参数估计根据统计数据对曲线模型参数作出估计的方法多种多样，不同的模型有不同的方法。一般说来，对于多项式曲线、简单指数曲线和双指数曲线，只要将曲线适当变形，把它线性化，即可使用线性回归分析方法，求得待估的参数值。而龚珀兹曲线、修正指数曲线和逻辑曲线的参数估计方法有所不同，现介绍如下。811．逻辑分析法所谓逻辑分析法，就是根据预测对象的自然发展规律，如某些食品消费的已知物理与生理的常规界限，或资源限制与法律限制等，运用逻辑分析的方法，以确定待估参数值。例如，制冷技术的极限参数是-273℃，家用缝纫机最多是一户购买一台，其家庭普及率充其量是100％。2．三和法或分组法所谓三和法（或分组法）就是将整个增长序列分为三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和以估计参数。823．三点法所谓参数估计的三点法就是假定曲线通过已知的三个点，即增长序列的始点、中间点和终点。同时，要求相邻两点的时间距离相等。现以逻辑曲线的参数估计为例介绍此法。设曲线模型为设增长序列的始点为y0，中间点为y1，终点为y2，相邻两点的时间距离均为n。由于这三点均在增长曲线上，故它们均满足方程，由此得到83联立求解上式，得：化简上述k的等式得到一个关于k的二次方程，求出k的两个根，取其较合理者代入a，b的等式即得a，b的估计值。值得注意的是：利用三点法作参数估计时，只利用了增长序列的三个值，它们只是整个序列的一部分信息，因此难免会产生一些误差。844．参数估计的优选法前面介绍的三和法和三点法，其优点是应用方便，计算程序简单，但估计精度比较差。应用最小二乘法于上述参数估计虽然可以把精度提高，但若遇到非线性问题，计算程序就显得十分繁琐，不便于应用。为此，介绍一种在优选法的基础上使用的最小二乘法，并称这种估计方法为参数模型法。下面以龚珀资曲线为例介绍此法。设曲线模型为若通过某种方式能先估出参数k的值，则（7.7.1）式可以线性化。（7.7.1）85将模型变形为则有若令则模型化为线性模型（7.7.2）86因此，问题归结为参数点k的选择问题。现在介绍选择k的优选方法（又称0.618法）。优选的标准是使预测值与实测值之差的平方和最小，即以残差平方和最小为原则。这里的Zt含有参数点k，这是(7.7.2)与普通的线性方程不同的地方。但是，对于每个给定的k，(7.7.2)又是普通的线性方程，因而可以应用线性最小二乘法求出待估参数A、B，从而可得到参数a、b的估计值。87§7.8包络曲线法科学技术发展过程既有渐进技术进步的成分又有突变因素的影响，对于复杂的技术系统的预测，采用指数曲线和生长曲线均不能胜任，因为它们仅能预测技术发展的量变过程而不能预测出质的飞跃。分析和预测复杂的技术系统，特别是从事长远预测时，不仅要预测技术发展的量变过程，同时要预测技术发展的质变过程。若用一条相切于这些S形生长曲线的平滑的包络线来描述这一过程，则可以得到表示一种技术特性发展总体趋势的曲线，这就是包络曲线法。88一、概念生长曲线描述一项单元技术的发展过程，而包络曲线（Envelopcurve）描述整个技术系统的发展过程。一项单元技术有功能特性上限，而由一系列先后相继的单元技术构成的整个技术系统，不会因单元技术达到性能上限而停止发展。例如，把计算机作为整个技术系统，则分别以电子管→晶体管→中小规模集成电路到大规模集成电路作为逻辑元件的相应计算机就是它的单元技术。随着单元技术的更替，计算机技术性能在不断提高。由于单元技术的连续更替，在时间—特性图上表现为一系列的S曲线，随时间的推移，后一条S曲线的性能比前一条S曲线的性能有所提高。如果把这一系列S曲线边成一条包络曲线，其形状也往往是一条S曲线。（如图7.8.1）89包络曲线有可能揭示预测变量的总趋势，估计预测变量的可能极限，描述其极限的性质。同时包络曲线往往要越过现有技术的极限参数，预见或揭示即将出现的新技术。因此，它不仅可以用于预测渐变过程，更主要的是可以用来预测科学和技术发展的突变，即跳跃式发展过程，以及揭示原理上新的发明等。