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文档简介
1湛江市第五中学钟景荣1.4.3充分条件与必要条件(习题课)2学习目标:1.理解充分条件与必要条件的意义.重点:充分条件与必要条件.难点:必要条件概念的理解.2.理解充要条件的意义.3复习回顾P(Q)小充分大必要(3)若pq,且pq,则p是q的充要条件,则q是p的充要条件.P(4)若pq,且pq,且,则p是q的既不充分也不必要条件.PQQP=QPQ且QP(1)若pq,且pq,则p是q的充分不必要条件.PQPQPQ(2)若pq,且pq,则p是q的必要不充分条件.QP4考点一、充分条件、必要条件、充要条件的判断[例1]指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”
“必要不充分条件”
“充要条件”
“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p,再根据定义下结论,也可用等价命题判断.解:(1)在△ABC中,由∠A>∠BBC>AC,所以p是q的充要条件.(2)因为x=2且y=6x+y=8,即但¬p¬q
,即qp,逆否命题与原命题同真假所以p是q的充分不必要条件.∴pq
.5考点一、充分条件、必要条件、充要条件的判断[例1]指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”
“必要不充分条件”
“充要条件”
“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).(3)设a,b是实数,p:“a>b”,q:“a2>b2”.
(4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)·(y-2)=0.(3)取a=1,b=-2,满足a>b,但不满足a2>b2
.
即pq,又取a=-3,b=2,满足a2>b2,但不满足a>b
.即qp,所以p是q的既不充分也不必要条件.(4)因为p:A={(1,2)},q:B={(x,y)|x=1或y=2},AB,
所以p是q的充分不必要条件.特殊值法AB称A是B的充分条件,AB称A是B的必要条件.xyO12x=1y=261.下列命题中,p是q的充分条件的是(
)A.p:a=0,q:ab=0.B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0.C.p:x2>1,q:x>1.D.p:a>b,q:解:对A,a=0时,一定有ab=0,∴pq
;对B,a2+b2≥0时,a,b∈R,∴pq
;对C,x2>1时,x>1或x<-1,∴pq
;对D,当a>b>0时,有
但当a>0>b或0>a>b时,特殊值法无意义,∴pq.或72.已知a,b,c是实数,下列命题中结论正确的是()A.“a2>b2”是“a>b”的充分条件B.“a2>b2”是“a>b”的必要条件C.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D.“|a|>|b|
”是“a>b”的充要条件特殊值法解:对A,当a=-3,b=2时,有a2>b2,但a>b不成立,∴pq
;对B,当a=1,b=-2时,有a>b,但a2>b2不成立,∴pq
;对D,当a=-3,b=2时,有|a|>|b|,但a>b不成立,∴pq
;当a=0,b=-2时,有a>b,但|a|>|b|不成立,∴pq;所以结论正确的应是C.83.设p是r的充分而不必要条件,q是r的充分条件,r成立,则s成立.s是q的充分条件,那么p是q的什么条件?pqsr解:prsq,prq.所以p是q的充分不必要条件.推理的传递性pq
,但pq
.9考点二、根据充分、必要条件求参数的取值范围[例2]若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,且a≠0,则实数a的值为______.解:由p:x2+x-6=0得x=-3或x=2;由q:ax+1=0且a≠0
得由题意知pq,pq,所以有解得或或∴P={-3,2}.∴Q={}.∴QP.104.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,
若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是_________.xQP03m+1-1解:依题意可知pq
,且pq,
所以PQ
.如图所示,得m+1>3.所以m的取值范围是{m|m>2}.115.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是____.解:设y=x2-x+m,如图x=2oxy若使y>0恒成立,等价于全部的y值都要大于0.即抛物线与x轴无交点,也即方程x2-x+m=0无实根,所以△=(-1)2-4×1×m<0.得1-4m<0,即m>12考点三、充要条件的证明[例3]证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0
.证明:充分性()∵
a+b+c=0
,∴
c=
-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0.即a(x2-1)+b(x-1)=0,即a(x-1)(x+1)+b(x-1)=0,即
(x-1)(ax+a+b)=0,方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性()∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0
,得a+b+c=0.综上所述,命题得证.136.证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根的充要条件是ac<0
.证明:充分性()∵
ac<0
,∴△
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