2022-2023学年辽宁省锦州市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年辽宁省锦州市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.当α＜x＜b时，f'(x)＜0，f'(x)＞0。则在区间(α，b)内曲线段y=f(x)的图形A.A.沿x轴正向下降且为凹B.沿x轴正向下降且为凸C.沿x轴正向上升且为凹D.沿x轴正向上升且为凸

2.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的阶数为

A.1B.2C.3D.4

3.

4.

5.已知斜齿轮上A点受到另一齿轮对它作用的捏合力Fn，Fn沿齿廓在接触处的公法线方向，且垂直于过A点的齿面的切面，如图所示，α为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。下列关于一些力的计算有误的是()。

A.圆周力FT=Fncosαcosβ

B.径向力Fa=Fncosαcosβ

C.轴向力Fr=Fncosα

D.轴向力Fr=Fnsinα

6.。A.2B.1C.-1/2D.0

7.

8.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx9.

10.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是（）。A.

B.

C.

D.

11.

12.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

13.

14.（）。A.0

B.1

C.2

D.＋∞

15.

16.A.0B.1C.2D.不存在17.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

18.

19.

20.设y=3-x，则y'=（）。A.-3-xln3

B.3-xlnx

C.-3-x-1

D.3-x-1

21.

22.

23.

24.设y=x2-e2，则y=

A.2x-2e

B.2x-e2

C.2x-e

D.2x

25.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴

26.

27.

A.x=-2B.x=2C.y=1D.y=-228.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

29.设z=y2x，则等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

30.

31.

32.

33.

34.A.1/2f(2x)+CB.f(2x)+CC.2f(2x)+CD.1/2f(x)+C

35.设函数f(x)=2lnx+ex,则f'(2)等于

A.eB.1C.1+e2

D.ln2

36.

37.

38.A.A.0B.1/2C.1D.∞39.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

40.设x=1为y=x3-ax的极小值点，则a等于()．

A.3

B.

C.1

D.1/3

41.A.A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判定敛散性

42.

43.A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

44.

A.仅有水平渐近线

B.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

C.仅有铅直渐近线

D.既无水平渐近线，又无铅直渐近线

45.平面x+y一3z+1=0与平面2x+y+z=0相互关系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合46.下列关系式正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

47.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x

48.A.等价无穷小

B.f(x)是比g(x)高阶无穷小

C.f(x)是比g(x)低阶无穷小

D.f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小

49.

50.设y=f(x)为可导函数，则当△x→0时，△y-dy为△x的A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.低阶无穷小二、填空题(20题)51.微分方程xy'=1的通解是_________。

52.微分方程y'-2y=3的通解为__________。

53.已知平面π：2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．54.

55.

56.

57.过M0(1，－1，2)且垂直于平面2x-y＋3z-1＝0的直线方程为．58.

59.

60.

61.

62.设y=-lnx/x，则dy=_________。

63.

64.

65.级数的收敛区间为______．66.曲线y=x3－3x2－x的拐点坐标为____。

67.函数f(x)=2x2+4x+2的极小值点为x=_________。

68.

69.70.设，且k为常数，则k=______．三、计算题(20题)71.72.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

73.

74.证明：75.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．76.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

77.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则78.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

79.

80.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．81.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．82.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．83.84.求微分方程的通解．85.86.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

87.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

88.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

89.

90.

四、解答题(10题)91.

92.

93.

94.求微分方程y"-3y'+2y=0的通解。

95.

96.计算其中D是由y=x,x=0，y=1围成的平面区域．97.98.99.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。

100.

五、高等数学(0题)101.

则dz=__________。

六、解答题(0题)102.设x2为f(x)的原函数．求．

参考答案

1.A由于在(α，b)内f'(x)＜0，可知f(x)单调减少。由于f"(x)＞0，

可知曲线y=f'(x)在(α，b)内为凹，因此选A。

2.B

3.C

4.C

5.C

6.A

7.C

8.D

9.D

10.C

11.C解析：

12.C

13.D

14.B

15.B

16.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x＝1为f(x)的分段点，且在x＝1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

17.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

18.B

19.A

20.Ay=3-x，则y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此选A。

21.D解析：

22.A

23.C解析：

24.D

25.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

26.A

27.C解析：

28.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

29.D本题考查的知识点为偏导数的运算．

z=y2x，若求，则需将z认定为指数函数．从而有

可知应选D．

30.B

31.B

32.A解析：

33.B解析：

34.A本题考查了导数的原函数的知识点。

35.C本题考查了函数在一点的导数的知识点.

因f(x)=2lnx+ex,于是f'(x)=2/x+ex,故f'(2)=1+e2.

36.C

37.A

38.A

39.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法：

若自由项f(x)=Pn(x)eαx，当α不为特征根时，可设特解为

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)为x的待定n次多项式．

当α为单特征根时，可设特解为

y*=xQn(x)eαx，

当α为二重特征根时，可设特解为

y*=x2Qn(x)eαx．

所给方程对应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0．

特征根为r1=1，r2=2．

自由项f(x)=xe2x，相当于α=2为单特征根．又因为Pn(x)为一次式，因此应选D．

40.A解析：本题考查的知识点为判定极值的必要条件．

由于y=x3-ax，y'=3x2-a，令y'=0，可得

由于x=1为y的极小值点，因此y'|x=1=0，从而知

故应选A．

41.C

42.C解析：

43.C本题考查了二重积分的积分区域的表示的知识点.

44.A

45.Bπ1x+y一3z+1=0的法向量n1=(1，1，一3)π2：2x+y+z=0的法向量n2=(2，1，1)∵n1.n2=(1，1，一3).(2，1，1)=0∵n1⊥n2；∴π1⊥π2

46.C本题考查的知识点为定积分的对称性．

47.A

48.D

49.A解析：

50.A由微分的定义可知△y=dy+o(△x)，因此当△x→0时△y-dy=o(△x)为△x的高阶无穷小，因此选A。51.y=lnx+C

52.y=Ce2x-3/2

53.

本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

54.

55.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

56.

57.

本题考查的知识点为直线方程的求解．

由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n＝(2，－1，3)．

由直线的点向式方程可知所求直线方程为

58.发散本题考查了级数的敛散性(比较判别法)的知识点.

59.

解析：

60.

61.y=-e-x+C

62.

63.

64.y=2x+165.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．66.（1，-1）

67.-1

68.

解析：

69.

本题考查的知识点为：参数方程形式的函数求导．

70.本题考查的知识点为广义积分的计算．

71.

72.

73.

74.

75.由二重积分物理意义知

76.

77.由等价无穷小量的定义可知78.函数的定义域为

注意

79.

80.

列表：

说明

81.

82.

83.

84.

85.

86.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

87.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

88.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％89.由一阶线性微分方程通解公式有

90.

则

91.

92.

93.

94.y"-3y'+2y=0特征方程为r2-3r+2=0(r-1)(r-2)=0。特征根为r1=1r2=2。方程的通解为y=C1ex+C2e