2005年第4届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2005年女子数学奥林匹克第一天2005年8月12日上午800～1200长春我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.——华罗庚1.如图，设点P在△ABC的外接圆上，直线CP和AC相交于点E，直线BP和AC相交于点F,边AC的垂直平分线交边AB于点J，边AB的垂直平分线交边AC于点K,求证：=.2.求方程组的所有实数解.3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？4.求出所有的正实数，使得存在正整数及个互不相交的无限集合，，…，满足∪∪…∪=Z，而且对于每个中的任意两数>，都有-≥.2005年女子数学奥林匹克第二天2005年8月13日上午800～1200长春数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。——华罗庚5.设正实数x，y满足+=x-y,求证：6.设正整数n≥3，如果在平面上有n个格点满足：当和为有理数时，存在，使得和均为无理数;当(1)求最小的好数；为无理数时，存在,使得均为有理数，那么称n是“好数”.(2)问：2005是否为好数？7.设m，n是整数，m>n≥2,S={1,2,…,m},T={整除S中的任何一个数，求证：,…,}是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时8.给定实数a,b,a>b>0,将长为a宽为b的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的边至少为多长？【题1】证：如图，连接BK，CJ.∠E=∠ABP—∠BPE，而由A，B，P，C四点共圆，知∠BPE=∠A，故∠E=ABP—∠A，又由KA=KB，知∠A=∠ABK,故∠E=∠ABP—∠ABK=∠KBF.①同理∠F=∠JCE.②由①，②得△JEC∽△KBF.由此，③④将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.【题2】解法一：①式可化为.③显然x，y，z同号.首先求正数解.存在α，β，γ∈(0，π)，使得x=tan，y=tan，z=tan，则sinα=,sinβ=,sinγ=,③即.④②式可化为,即.注意z≠0,xy≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以,即α+β+γ=π.从而α，β，γ是某个三角形ABC的三个内角.由④和正弦定理知，α,β,γ所对的边a，b，c的比是5∶12∶13，所以，.从而x=tan=或5，y=tan，z=tan.将z=1代入②式，易知x和y均小于1.所以是唯一正数解.故原方程组有两组解：.解法二：显然x，y，z同号.由②得x=，代入①得，即5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz),5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz).同理整理得12y2z+17yz2=7y+12z,18y2z+13yz2=13y+8z,两式相加，得30yz(y+z)=20(y+z),∴yz=,代入①解得z=±1.故原方程组有两组解：【题3】解：存在，如下图所示。【题4】解：若0<a<2,n充分大时，>,令1,2，…,n-1,的倍数}，则该分拆满足要求。若a≥2,设,,…满足要求，令M={1，2，…，}，下证≤.设={.∴m-1<,即m<+1,故m≤.1,2,…,n为M的一个分拆，故矛盾.∴所求的a为所有小于2的正实数.【题5】证：由平均不等式,所以从而,.【题6】解：我们断言最小的好数为5，且2005是好数.在三点组()中，若为有理数(或无理数)，和为无理数(或有理数)，我们称()为一个好组.(1)n=3显然不是好数.n=4也不是好数.若不然，假设)为一好组.显然(满足条件，不妨设为有理数及()为一好组，则(不能满足条件.矛盾!)和()均不是好组.所以n=5是好数.以下五个格点满足条件：={(0，0)，(1，0)，(5，3)，(8，7)，(0，7)}.(2)设A={(1，0)，(2，0)，…，(669，0)}.B={(1，1)，(2，1)，…，(668，1)}.C={(1，2)，(2，2)，…，(668，2)}..对任意正整数n，易证和不是完全平方数.不难证明，对于集合中任两点为有理数当且仅当与某一坐标轴平行.所以，2005是好数.注：当n=6时，；当n=7时，.则可验证n=6和7均为好数.当n≥8时，可像n=2005那样排成三行，表明n≥8时，所有的n都是好数.【题7】证：构造则,由于T中任意两个数都不能同时整除S中的一个数，所以当i≠j时，.则≤m.,又因为所以即,,所以.【题8】解：设长方形为ABCD，AB=a,BC=b，中心为O.以O为原点，建立直角坐标系，x轴、y轴分别与正方形的边平形.情形1：线段BC与坐标轴不相交.不妨设BC在第一象限内，∠BOX≤(90°-∠BOC)(图1).此时正方形的边长≥BDcos∠BOX≥BDcos=BDcos45°cos∠BOC+BDsin45°sin∠BOC=(a+b).所以此时所在正方形边长至少为(a+b).情形2：线段BC与坐标轴相交.不妨设BC与x轴相交，不妨设∠