高中数学高考50第九章 平面解析几何 9 2 两条直线的位置关系

§9.2两条直线的位置关系第九章

平面解析几何NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔_____________.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.知识梳理ZHISHISHULIk1＝k2k1·k2＝－1(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组__________________的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝__________________.1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？【概念方法微思考】提示当两条直线l1与l2的斜率都存在时，

·

＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(

)(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(

)(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为

.(

)√××基础自测JICHUZICE1234567(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(

)(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于

，且线段AB的中点在直线l上.(

)√√1234567题组二教材改编2.[P110B组T2]已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于√12345673.[P101A组T10]已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝___.所以m＝1.112345674.[P110B组T1]若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____.所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.－91234567题组三易错自纠5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于A.2 B.－3C.2或－3 D.－2或－3√1234567解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.12345677.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝______.解析由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，0或11234567解得a＝0或a＝1.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一两条直线的平行与垂直例1

已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；师生共研解方法一

当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.方法二

由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行.(2)当l1⊥l2时，求a的值.解方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.思维升华跟踪训练1

(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为√若a＝0，l1∥l2，故选C.(2)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0垂直，则m的值为

解析由l1⊥l2得2×m＋(m＋1)×3＝0，√题型二两直线的交点与距离问题1.(2018·西宁调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是自主演练√2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为√3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－

x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.方法二如图，已知直线而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，∴动直线的斜率k需满足kPA<k<kPB.4.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为___________________.解析设点P的坐标为(a，b).∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2).∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.

①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.思维升华题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2

过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________.多维探究x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称例3

如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是√命题点3直线关于直线的对称问题例4

直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是_____________.x－2y＋3＝0解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.思维升华(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2

已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，③④把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7).(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；解用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为化简得7x＋y＋22＝0.(3)直线l关于(1,2)的对称直线.解在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.思想方法SIXIANGFANGFA妙用直线系求直线方程

一、平行直线系例1

求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系例2

求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系例3

求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.即4x＋3y－6＝0.方法二设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.3课时作业PARTTHREE1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.不能确定12345678910111213141516故选C.√基础保分练2.已知直线l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则实数m等于

A.－1或3 B.－1C.－3 D.1或－312345678910111213141516解析当m＝0时，显然不符合题意；解得m＝－1或m＝3，故选A.√3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为A.－10B.－2C.0D.8√12345678910111213141516解析因为l1∥l2，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.4.过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝012345678910111213141516√又所求直线过M(－3,2)，12345678910111213141516化为一般式得x＋2y－1＝0.故选D.方法二

由题意，设所求直线方程为x＋2y＋c＝0，将M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直线为x＋2y－1＝0.故选D.5.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为12345678910111213141516解析∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，√6.已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为

12345678910111213141516解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，√7.已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为

，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝___；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为______.12345678910111213141516－1

1若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝____.解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，123456789101112131415169.直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为_________.12345678910111213141516x－2y＝0所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.所以直线l2的方程为x－2y＝0.10.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_____________.解析设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，123456789101112131415166x－y－6＝0解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；12345678910111213141516解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，故直线经过的定点为M(2，－2).12345678910111213141516证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，12.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是

.(1)求a的值；12345678910111213141516又a>0，解得a＝3.(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的

；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是

.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.12345678910111213141516解假设存在点P，设点P(x0，y0).若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，12345678910111213141516若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.1234567891011121314151613.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为A.(－2,4) B.(－2，－4)C.(2,4) D.(2，－4)12345678910111213141516技能提升练√12345678910111213141516即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，即x－3y＋10＝0.12345678910111213141516则C(2,4).故选C.1234567891011121314151614.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则