ARMA谱估计与系统辨识 清华大学《现代信号处理》讲义张贤达

第三章现代谱估计清华大学自动化系张贤达电话：62794875经典谱估计样本直接法间接法假设已零均值化，周期函数

周期图法有偏估计,平滑性差加窗函数功率谱曲线平滑,但分辨率下降数据窗谱窗要提高分辨率，使用参数化的谱估计！经典谱估计：使用FFT的谱估计现代谱估计：参数化谱估计3.1ARMA谱估计与系统辨识平稳ARMA过程

离散随机过程服从线性差分方程：

为离散白噪声，则称为ARMA过程。 自回归(autoregressive)—滑动平均(movingaverage)过程AR阶数AR参数MA阶数MA参数ARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统传递函数：满足ARMA模型的条件：(1)冲激响应系数必须绝对可求和：(系统稳定)(2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一)(3)系统是物理可实现的(因果系统)极点的作用：决定系统的稳定性和因果性即极点不在单位圆上因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根|z|<1零点部分极点部分零点的作用：决定系统的可逆性，即

是否存在。可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若(1)存在序列，并满足 ——可逆系统的稳定性(2)——可逆性条件ARMA过程的功率谱密度

则功率谱其中ARMA功率谱估计的两种线性方法Cadzow谱估计子

又其中则两边同乘，，比比较系数得得所以，Cadzow谱估计子的的关键：估估计AR阶数p和AR参数Kaveh谱估计子非线性方程程，MA参数辨识（Newton－Raphson迭代）协方差函数数的Fourier变换Kaveh谱估计子：：ARMA功率谱密度度的特例特例一：MA过程有限冲激响响应(FIR)系统特例二：AR过程中含有的无数多项无限冲激响响应(IIR)系统白噪声中的的AR过程：ARMA(p,p)过程特例三：完完全可预测测过程加性白噪声声中的可预预测过程：：线谱特殊的ARMA所以：白噪声中的的AR过程=ARMA过程白噪声中的的可预测过过程=特特殊的ARMA过程等价高斯白噪修正Yule-Walker方程BBR公式：修正Yule-Walker方程(MYW方程)定理(AR参数的可辨辨识性)：：若A(z)和B(z)无可对消公公共因子，，且，，则AR参数可由p个修正Yule-Walker方程唯一确确定或辨识识。若构造：使得，，则AR阶数确定的的奇异值分分解方法奇异值分解解(SVD)：：酉矩阵：主奇异值：：p个大的奇异异值（p个信号分量量的能量））次奇异值：：其它小奇奇异值（扰扰动或误差差的能量））准则一：归归一化比值值信号与噪声声的分离：：若阈值=0.995，v(k)>阈值的最小小整数k定为矩阵A的“有效秩秩”。准则二：使使用归一化化奇异值<某个很小的的阈值(0.05)的最小整整数k定为有效秩秩。最终预报误误差方法(FPE,FinitePredictionError)：FPE准则选择使使FPE(p,q)最小，作为为AR模型的阶数数。AIC(Akaike’sInformationCriterion)“信息量准准则”遵循循“吝啬原原则”AR阶数确定的的信息量准准则法若，，则扩展阶MYW方程选AR参数估计的的总体最小小二乘法总体最小二二乘TLS:TotalLeastSquares扰动矩阵思想：寻求一个解解z，使得定义代价函函数方法2：只包含p个参数（主主要因素））：用秩为p的矩阵对B的最佳逼近近令，，则构造代价函函数由于存在误误差AR定阶与AR参数估计的的SVD-TLS算法：步骤1：构构造扩展阶阶相关函数数，，求求SVD，存储和和步骤2：确确