高三数学寒假课程第9讲-等差数列与等比数列

第九讲等差数列与等比数列【知识回顾】一、等差数列涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量来处理；若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的相关性质:等差数列中，，变式；等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列．等差数列中，若，则，若，则等差数列中，（其中）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．若是公差为的等差数列，则其子列也是等差数列，且公差为;也是等差数列，且公差为.在项数为项的等差数列中，；在项数为项的等差数列中，．等差数列中，也是一个等差数列，即点（）在一条直线上.两个等差数列与中，分别是它们的前项和，则.二、等比数列涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量来处理；已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为或；四个数时设为、、、等比数列的相关性质:若是等比数列，则；若是等比数列，，当时，特别地，当时，若是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；若是等比数列，是的前项和，则，，…成等比数列．两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．【考点剖析】考点一等差数列的通项和求和公式例1、等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）A．1B.C.-2D.3选题意图：本题涉及等差数列的基本概念的问题，用基本量来处理答案：C解析：∵且，故选C.例2、已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（）（）（A）21（B）20（C）19（D）18选题意图：本题涉及等差数列的前n项和最大的问题，是比较典型的答案：B解析：由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，选B变式训练：将全体正整数排成一个三角形数阵：1123456789101112131415………………按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为.答案：解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为．点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力.考点二等比数列的通项和求和公式例3、已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（）A.B.C.D.2选题意图：本题涉及等比数列的基本概念的问题，用基本量来处理答案：B解析：设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，选B.例4、设为等比数列的前项和，，求公比的值.选题意图：本题考查等比数列的求和公式答案解析：若，则，，由得舍去.所以，由得，.考点三等差数列的性质例5、设等差数列的前项和为，若，则=.选题意图：本题考查等差数列的性质解析：是等差数列，由，得，.例6、等差数列的前n项和为，已知，，则.（A）38（B）20（C）10（D）9w.w.w.k.选题意图：本题考查等差数列的性质，比较典型答案：C解析：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，整理得（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选C.变式训练：两个等差数列则=___________.答案：考点四等比数列的性质例7、设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=（）（A）2（B）（C）（D）3选题意图：本题考查等比数列的性质，比较典型答案：B解析：设公比为q，则＝1＋q3＝3q3＝2，于是例8、在等比数列中，若是方程的两根，则=__________.选题意图：本题考查等比数列的性质、根与系数的关系，比较简单答案：解析：变式训练：在等比数列中，完成下列各题：（1）若，且，求的值；（2）若，，求的值；答案解析：（1），即，又因为，所以（2）因为，所以考点五等差数列、等比数列的综合例9、等差数列的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（）A.90B.100C.145D.190w.w.w.k.s.5.u.c.o.m选题意图：本题考查等差数列的前n项，等比中项等内容答案：B解析：设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100例10、设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）A． B． C． D．选题意图：本题考查等差数列的前n项和，等比数列的概念答案：A解析：设数列的公差为，则据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和例11、公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项，，则等于（）A.18B.24C选题意图：本题考查等差数列的前n项，等比中项等内容答案：C解析：由得得，再由得则，所以.例12、已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?选题意图：本题考查等差数列、等比数列的综合应用解析：（1），，，.又数列成等比数列，，所以；又公比，所以；又，，；数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，故，当，；（）；（2）；由得，满足的最小正整数为112.【课后作业】1.在等差数列中，，则的前5项和=（）A.7B.15C.20D.252.已知为等比数列，，，则（） 3.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）①② B．③④ C．①③ D．②④4.已知等差数列的前n项和为Sn，，则数列的前100项和为（）（A）（B）（C）（D）5.已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an=______________.6.设数列，都是等差数列，若，，则__________.7.已知等差数列为其前n项和.若，，则=_______.8.已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（1）设，，求证：数列是等差数列；（2）设，，且是等比数列，求和的值．9.已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，，证明（）.【参考答案】1.【答案】B【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和，选B.2.【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.3.【答案】C【解析】等比数列性质，EQ，①；②；③；④.故选C4.【答案】A【解析】由，得，所以，所以，又，选A.5.【答案】【解析】，，解得或（舍去），.6.【答案】35【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，所以.7.【答案】，【解析】因为，所以，.8.【解析】（1）∵，∴.∴.