高二数学寒假课程第9讲-导数的运算及其几何意义

寒假课程·高二数学第九讲导数的运算及其几何意义【知识梳理】1.定义：函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率：叫做y=f（x）在处导数，记作2.几何意义：函数f（x）在点处的导数的几何意义是在曲线y=f（x）上点处的切线的斜率.相应地，切线方程为.【考点一：导数的概念及导数的四则运算】1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）（2）（3）（4）3.函数求导应先注意函数的定义域.4.对复杂函数求导时应注意先对函数进行化简.5.复合函数求导只要求类型.【例1】求下列函数的导数：1.；2.；3.【解析】1.2.解法一：解法二：，∴3.解法一：解法二：，【课堂练习】1.求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【解析】（1）（2）（3）（4），（5）先化简，（6）（7）【考点二：求曲线的切线方程】1.函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率.2.切点既在原曲线上，又在切线方程上.既满足曲线的方程，又满足切线方程.3.求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程：（1）若是求曲线上在点处的切线的方程，则点为切点，相应地切线方程为.（2）若是求曲线上过点的切线的方程，则先应把切点设为，相应地切线方程为，再把点代入切线方程，把解出来，有几个就有几条切线方程.【例2】如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则=.【答案】2【解析】观察图形，设，过P点的切线方程为即它与重合，比较系数知:，故=2.【课堂练习】已知直线与曲线切于点（1，3），则的值为（）A.3B.－3C.5D.－5【答案】A【解析】∵点（1，3）在直线上，∴＝2.∴，∴.∴.∵点（1，3）在曲线上，∴＝3.故选A.【例3】已知函数，若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值【解析】.因为曲线在点处的切线与x轴平行，所以，即所以.【课堂练习】求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程.【解析】，∴曲线在点处的切线斜率是∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，∴所求的直线方程为，即.4.求曲线上的点到直线的最短距离.【解析】设曲线上过点的切线平行于直线，即斜率是2，则解得，所以，即点，点到直线的距离为，∴曲线上的点到直线的最短距离是.【例4】已知曲线，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程.【解析】（1）上，且∴在点处的切线的斜率k==4;∴曲线在点处的切线方程为，即.（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，∴切线方程为，即∵点在切线上，∴，即，∴，∴，解得或故所求的切线方程为或.（3）设切点为，则切线的斜率为，.∴切点为，∴切线方程为和，即和【课堂练习】5.已知函数，（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；（3）如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程.【解析】（1）∵，∴点在曲线上.∵，∴在点处的切线的斜率为.∴切线的方程为.即.（2）设切点为，则直线l的斜率为，∴直线l的方程为：.又∵直线l过点，∴，整理得，∴，∴，∴，∴直线l的方程为，切点坐标为.（3）∵切线与直线垂直，∴斜率，∴设切点为，则，∴，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1,y0＝－14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1,y0＝－18)).即切点坐标为或.故切线方程为或.即或【例5】曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.【答案】【解析】曲线和在它们的交点坐标是（1，1），两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.【课堂练习】6.设函数（a，b∈Z），曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【解析】（1），于是解得或因为a，bZ，故.（2）在曲线上任取一点.由知，过此点的切线方程为.令得，切线与直线的交点为.令得，切线与直线y=x的交点为.直线与直线的交点为（1，1）.从而所围三角形的面积为.所以，所围三角形的面积为定值2.【巩固练习】基础训练（A类）1.曲线在点A（0，1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.D.2.曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.3.曲线在点处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A.-9B.-3C.9D.154.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.6.曲线在点（0，1）处的切线方程为.7.已知函数，其中.若，求曲线在点处的切线方程；8.设的导数满足，其中常数.求曲线在点处的切线方程9.已知函数.若，求曲线在处切线的斜率10.设函数.若曲线在点处与直线相切，求的值【参考答案】1.【答案】A【解析】2.【答案】A【解析】，所以，所以切线方程为，即，故选A.3.【答案】C【解析】，所以，所以切线方程为当，，故选C.4.【答案】B【解析】，故切线方程为，即，故选B.5.【答案】D【解析】，所以曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以6.【答案】【解析】，斜率，所以，即7.【解析】当时，，.，.所以曲线在点处的切线方程为，即.8.【解析】则；，所以，于是有故曲线在点处的切线方程为：9.【解析】由已知，.故曲线在处切线的斜率为.10.【解析】，∵曲线在点处与直线相切，∴提高训练（B类）1.设，则的解集为（）A.B.C.D.2.若曲线在点处的切线方程是，则（）A.B.C.D.3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A.B.C.D.4.已知直线与曲线相切，则的值为（）A.1B.2C.-1D.-25.若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（）A.64B.32C.16D.86.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.7.已知为偶函数，曲线过点，.若曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；8.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.求函数的解析式；9.设若，求在点（2，）的切线方程已知曲线C，直线l:，且l与C切于点，求直线l的方程及切点坐标.【参考答案】1.【答案】C【解析】定义域为，又由，解得或，所以的解集2.【答案】A【解析】∵，∴，在切线，∴，故选A.3.【答案】A【解析】由已知，而，所以故选A4.【答案】B【解析】设切点，则，又.故选B5.【答案】A【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.6.【答案】【解析】由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以.7.【解析】（Ⅰ）为偶函数，故，即有解得又曲线过点，得有从而，曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得所以实数的取值范围:8.【解析】由的图象经过，知，所以.所以.由在处的切线方程是，知，即，.所以即解得.故所求的解析式是.9.【解析】由得∵过点（2，）的切线方程为，即10.【解析】点在曲线C上，，因为恒过点，即过点与相切于点过点的切线的斜率为，故切线方程为，又因为点在切线上，所以整理得∴（舍）或，∴∴∴l方程，切点.综合迁移（C类）1.曲线在点处的切线的斜率为（）A.B.C.D.2.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（）A.B.C.D.13.设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为（）A.B.C.D.14.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 （）A.B.C.D.5.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A.或B.或C.或D.或6.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A.[0，）B.C.D.7.设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线l.求a、b的值，并写出切线l的方程.8.已知函数，曲线在点处的切线方程为，求a、b的值9.已知函数，证明：曲线的切线过点.10.已知函数，求过点且与曲线相切的切线方程【参考答案】1.【答案】B【解析】，所以，故选B.2.【答案】A【解析】，故曲线在点处的切线方程为易得切线与直线和围成的三角形的面积为，故选A.3.【答案】B【解析】对，令得在点处的切线的斜率，在点处的切线方程为，不妨设，则，故选B.4.【答案】A【解析】由得，即，∴∴，∴切线方程，即选A.5.【答案】A【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.6.【答案】D【解析