备战高考真题测试：数列理科教师版

数列强化测试、选择题1.已知an为等比数列，a4 a72,a5a6 8,则a1 a10TOC\o"1-5"\h\zA.7 B.5【答案】D【解析】a4a72,a5a6a4a7

C. D.8 a4 4,a7 2或24 2,a7 4a4 4,a72a1 8,aio 1 a〔 a)oa4 2,a7 4a10

8,a1 1 a1 a10 72.设Sn是公差为dd0的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的♦♦是 （ ）A.若d0,则数列S有最大项B.若数列&有最大项，则d0C.若数列&是递增数列，则对任意的nN,均有&0D.若对任意的nN,,均有&0,则数列Sn是递增数列【答案】C【解析】选项C显然是错的，举出反例：1,0,1,2,3，.满足数列Sn是递增数列，但是Sn0不成立..在等差数列｛an｝中，a21,a5,则｛an｝的前5项和S5=A.7 A.7 B.15【答案】B【解析】2da4a2514C.20 D.25d2,a1a2d12 1,一 (a1a5)565a5a23d167,故S5(-1~~52———15.2 2

n项和公式，解题时要认真【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前审题，仔细解答n项和公式，解题时要认真4.设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为一的等差数列，82c13D.—16f(a1)f(a2) f(a5)5，则[f(a3)]ac13D.—16TOC\o"1-5"\h\z1 2 1A.0 B2 C16 8【答案】D【解析】•数列an是公差为一的等差数列，且f(a1)f(a2) f(a5)58,,2(a1a2,,2(a1a2a5)(cosa1cosa2cosa5)5(cosa1cosa2cosa5) 0,即2(a1 a2aj 25a3 5TOC\o"1-5"\h\z得a3 —,a1 ,a53232 1316 162 2••[f(a3)] a1a3(2a3cosa3) a1a5【点评】本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习.另外，(cosa〔cosa2 cosas)0,隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力1n5.设an—sin——,Sna〔a2 an.在&$,，&00中，正数的个数是n25()A.25. B.50. C.75. D.100.【答案】D【解析】对于1k25,ak0a250,Sk1k25都是正数.当26k. k49时，令石，则以k当26k. k49时，令石，则以k一画出k终边如右,其终边两两关于X轴对称,即有sinksin(50k),其终边两两关于X轴对称,即有sinksin(50k),所以Sk1 1-sin -sin 2 ...1 21 .2 1 .c——sin26 ——sin2726 271 1sin23 —sin2423 241…...—sink

k1 1-sin —sin 21 21 1 sin50k1 1-sin —sin 21 21 1 sin50k50kksin24 sin232426 2327，其中k26,27,...,49,止匕时050kk,1 1所以——‘0又0(50k)24 ,所以sin(50k)0,50kk'从而当k26,27,...,49，时，Sk都是正数，S50 S490 S490对于k从51至IJ100的情况同上可知Sk都是正数.综上，可选D.【评注】本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号，为此，需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想 .而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键.6.在等差数列an中，已知a4a816,则该数列前11项和S1 ( )A.58 B.88 C.143 D.176【答案】B【解析】在等差数列中，Qa1ana4%16,、1 11(a1a11)882【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、 性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.7.观察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则io.10 / 、ab ( )A.28 B.76 C.123 D.199【答案】C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123故a10b10123.【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题 .体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.8.定义在(，0)U(0,)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)U(0,)上的如下函数：①f(x)X2;②fx 2x; ③f(x)7lxl； ④f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数"的f(x)的序号为 ( )A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】C【考点分析】：本题考察等比数列性质及函数计算.【解析】：等比数列性质,anan2an21,①fanfan2fanfan2anan2 an1f an1;f an f an 2 2an2an2 2an an2 22an 1f2 an 1;③fanfan2lnanlnan2lnan1f2ani.选C9.等差数列an中，& a5 10,a4 7,则数列an的公差为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】Qa1a5102a14d10,而a4a【解析】Qa1a510【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式，考查计算求解能力【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式，考查计算求解能力.10.已知等差数列a10.已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列1 ，… 的前100anan1项和为AW0101B.理AW0101B.理101C,国100D.出100【答案】An项和的公式的运用，n项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和.【解析】由Sn,a55s15可得a14dai5al4——d1521【解析】由Sn,a55s15可得a14dai5al4——d1521ann1anan11

n(n1)§00 (11)(12 21、, ,1)L( 3 1001、( 1 100)1-101 101 10111.某棵果树前n年得总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产A.5B.7D.11巨--

里取C高，m的值为【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应Ig加入，因此选C.【考点定位】本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，判断变化速度可以用导数来解，当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发，由于目的是使平均产量最高，就需要随着n的增大，Sn变化超过平均值的加入，随着n增大，Sn变化不足平均值,故舍去.

TOC\o"1-5"\h\z.公比为3/2等比数列⑶｝的各项都是正数,且a3a1116,则 ( )A.4 B.5 C. D.【答案】B2 9【解析】a3a11 16 a? 16 a? 4a^ a? q32 log2a16 5二、填空题.数列｛an｝满足an1(1)nan2n1,则｛a0｝的前60项和为【答案】1830【解析】｛an｝的前60项和为1830可证明：bn1可证明：bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3 a4n2a4n2a4n16bn16, 「 _ /… 1514 _b1 a1 a2 a3 a410 S15 1015 --- 16 1830.设公比为qq0的等比数列an的前n项和为S.若S23a22,S43a42,贝Uq.2【解析】将S23a22,S43a42两个式子全部转化成用口，q表示的式子.即a1a1q3a1q23 3 两式作差得：aq2aq33alq(q21),即：a1aqa〔q aq 3a1q 22q2q30,解之得：q30rq1(舍去)..已知等差数列an的首项及公差均为正数，令bn 向Ja2012nnN,n2012当bk是数列bn的最大项时，k【答案】1006【解析】因为bn0，当b2最大时，bk也最大。b2ana2012n2.012n2为2a2012n当且仅当n2012n,n1006时取等。.已知等比数列为为递增数列，且a；a10,2(ana02)5an1,则数列的通项公式an.【答案】2n【解析】Qa2胡，9簿4)2aq9,a〔q,anqn,1Q2(an an 2) 5an1,2an(1q) 5anq, 2(1q)5q,解得q 2或q 一(舍去)，an 22【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题..设数列an , bn都是等差数列，若a1 b1 7,a3 b321,则a5 b5 o【答案】35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想(解法一)因为数列{an},{bn}都是等差数列，所以数列anbn也是等差数列.故由等差中项的性质，得a5b5 aih 2a3b3,即a5b57221,解得a5b535.(解法二)设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3 b3 (ai2d1) (b1 2d2) (a〔 bi) 2(G d2) 72(d1 d2) 21,所以d1 d2 7.所以a5 b5 a b3) 2(d〔 d2) 35.【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解.体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前n项和，等差中项的性质等..设N2nnN,n2,将N个数x1,X2,...,Xn依次放入编号为1,2,...,N的N个位置，得到排列Po X1X2 Xn,将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前段和后”位置，得到排列NPiX1X3X5 Xn1X2X4X6 Xn,将此操作称为C变换，将Pl分成两段,每段一2个数，并对每段作C变换，得到P2；当2in2时，将Pi分成2回，每段Nr2个数，并对每段C变换，得到Pi,例如，当N8时，P2 X1X5X3X7X2X6X4X8，此时X7位于P2中的第4个位置.(1)当N16时，X7位于P2中的第_个位置；(2)当N2nn8时，X173位于P4中的第___个位置.【答案】(1)6;(2)32n411【解析】(1)当N16时，RX1X2X3X4X5X6LX16,可设为(1,2,3,4,5,6,L,16),P X1X3X5X7LX15X2X4X6LX16，即为(1,3,5,7,9,L2,4,6,8,L,16),PX1X5X9X13X3X7X11X15X2X6L%6，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,L,16),X7位于PZ中的第6个位置,；(2)方法同(1)，归纳推理知X173位于R中的第32n411个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题..回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 .如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,...,99.3位回文数有90个:101,111,121，…，191,202，…,999.则(I)4位回文数有(U)2n1(nN)位回文数有 个.【答案】：90,910n【考点分析】：本题考查排列、组合的应用.【解析】：(1)4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0,有91:9种情况，第二位有100：9种情况，所以4位回文数有91090种.(H)法一、由上面多组数据研究发现，2n1位回文数和2n2位回文数的个数相同，所以可以算出2n2位回文数的个数.2n2位回文数只用看前n1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项