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文档简介

矩阵范数§2.52.5.1上常用的矩阵范数本章约定：我们仅在（或）上研究方阵的范数。数的方法来定义矩阵的范数。线性空间中任意一个矩阵，都可以看做是一个维的向量，因此，可以用定义向量范了计算上的方便，常常要求矩阵范数满足相容性，由于矩阵之间具有向量所没有的乘法运算，为即(1)正定性:当且仅当:(2)齐次性：(4)相容性：(3)三角不等式：称实数||A||是矩阵A

的范数。设

是数域F(R或C)上所有

矩阵全体构成的线性空间。实值函数称为矩阵范数，是指对于任意矩阵满足下列性质定义1m1-范数m2-范数m∞-范数上常用的矩阵范数下面我们逐一验证。证明(1)

对进行验证。满足正定性当且仅当A为零矩阵时，||A||=0。满足齐次性满足三角不等式满足相容性是定义在上的矩阵范数。证明(2)

对进行验证。根据范数的定义，显然正定性和齐次性成立。下证三角不等式和相容性。满足三角不等式利用Minkowski不等式

满足相容性利用Hőlder不等式

是定义在

上的矩阵范数。证明(3)

对进行验证。正定性，齐次性和三角不等式容易证明，下面只证明满足相容性。m1-范数m2-范数m∞-范数观察上常用的矩阵范数m1-范数与m2-范数可以视为向量的1-范数与2-范数的直接推广，而矩阵的m∞-范数与向量的∞-范数却并不相同，这是为什么呢？先看一个例子因此这样定义是为了满足相容性而设的。若定义对有从而m2-范数又被称为Frobenious范数，简称F-范数。记做||A||F

2.5.2F-范数的性质定理1

A

的F-范数||A||F满足：其中为A的第j列，的迹，是的特征值。其中为其中为A的第j列，证明由向量2-范数定义知，故因为的迹，是的特征值。其中为所以定理2

而U、V是中的酉矩阵，则V也是酉矩阵，同理有证明由已知因此所以酉不变性2.5.3矩阵范数的性质(3)||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。证明与向量范数类似，略。定理3

设

(或

)，则阵范数，若存在两个与A无关的正常数m、M，使得定义2设是中定义的任意两种矩则称

与是等价的。与向量范数类似，(或)上任意两个矩阵范数等价。另外，仍然可以根据已知的矩阵范数构造出新的矩阵范数。证明非负性，齐次性和三角不等式的成立是显然的，下面只要证明相容性成立即可。例8

设是线性空间

上的两个矩阵范数,

证明也是

上的矩阵范数。证明当A≠0时，由于S可逆，则S-1AS≠0，从而对任意的k∈C，有例9

设

可逆，||||α为给定的

中的矩阵范数，，定义函数证明||A||也是中的矩阵范数。对任意的

，有因此，||A||也是

中的矩阵范数。矩阵范数和向量范数一样，仍然是一种度

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