《空间向量运算的坐标表示及应用(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】

《空间向量运算的坐标表示及应用(2)》教案教学目标教学目标1.掌握空间向量的坐标运算规律；2.掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．教学重难点教学重难点重点：空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示．难点：空间向量的夹角公式、距离公式等的应用．教学过程教学过程一、情境导入情境：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．答案：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出M、N两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．我们已经学习了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN的坐标就可以表示出来，那么，有了向量的坐标如何来求向量的模？设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．二、新知探究问题1：你能类比平面向量的模长公式，得到空间向量的模长的计算公式吗？答案：平面向量a=x，y，则a=a·a=探究：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知DA=x，DC=y答案：DB'的长度为如图，把该长方体放在空间直角坐标系中，易知，向量DB'=x，y，z，结合前面的学习可知，DB'的长度即为它对应的向量D总结：已知空间向量a=x1思考：前面我们学习过空间两点间的距离公式，你能利用空间向量的模长公式对它进行证明吗？答案：首先，建立空间直角坐标系O-xyz，设Ax1于是，AB=从而验证了空间两点间的距离公式．空间向量a的模可以理解为点x1，y1【概念巩固】1.已知A1，3，32.已知a=2，1，3，答案：1.AB=4，-2.由a⊥b得，a·b=2×-4+1×2所以a-b=6，问题2：你能类比平面向量的夹角公式，得到空间向量的夹角的计算公式吗？答案：平面向量a=x1，y其中a类比平面向量的模长公式，可得空间向量a=x1，y1三、应用举例例1：已知空间三点A1，0，0，B3，1解：∵AB=2，1，∴AB=AB=AB·AC=又∵两个向量的夹角取值范围为0，∴∠BAC即线段AB的长为6，∠BAC例2：如图，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=π2，棱AA'=2，点M，（1）求BN；（2）求cosBA'，CB'解：（1）如图，以点C为原点，CA，CB，CC'所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由题意，得B0，1则BN=1，（2）由题意，得B0，1，0，C∵BA'=1，∴BA'=12BA'·CB'=故cosBA'，CB'（3）由题意，得A'1，0，2∵A'B=-1∴A'B·C'M=-四、课堂练习1．若△ABC的三个顶点坐标分别为A0，0，2，B2．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长．参考答案：1.解：AB=-32，1，0，AC=2.解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D(0，0，0)，E0，0，12，C(0，1，0)，F12，∴EF=12，12，-∵EF·CF=12×1(2)∵EF·CG=CG=12+又异面直线所成角的范围是(0°，90°]，∴异面直线EF与CG所成角的余弦值为1515(3)CE=五、课堂小结空间向量a=x1空间向量a=x1，y设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的