《直线拟合》示范公开课教案【高中数学北师大】

第七章统计案例7.1.1直线拟合教学目标教学目标1．理解散点图、曲线拟合及直线拟合的概念．2．了解线性回归的基本思想．教学重难点教学重难点重点：直线拟合、曲线拟合的概念．难点：线性回归的基本思想．教学过程教学过程一、新课导入在现实生活中，反映量与量之间的函数关系非常普遍，但也存在一些量与量之间不满足函数关系，如人的身高与体重．一般说来，人的身高越高，体重就越重，二者确实有关系．但是身高相同的人，体重却不一定相同，也就是说，给定身高h没有唯一的体重m与之对应．在现实生活中，这样的例子还有很多，如人的年龄与血压、农作物的施肥量与产量等．显然，这些变量之间存在着某种关系，这节课我们将学习如何近似的描述这些变量之间关系．二、新知探究问题1．为了了解人的身高与体重的关系，我们随机抽取9名15岁的男生，测得他们的身高(单位:cm)、体重(单位:kg)如下表，通过表格发现身高与体重存在怎么样的关系？编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053答案：从中不难看出，同一身高157cm对应着不同的体重44kg和47kg，即体重不是身高的函数．如果把身高看作横坐标，体重看作纵坐标，在平面直角坐标系中画出对应的点(如下图)，就会发现，随着身高的增长，体重基本上呈现直线增加的趋势．在上图中，每个点对应的一对数据(xi,yi)，从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合．问题2应当如何求出这条直线呢?方法1选取散点图中的两个点，使得其余的点在这两个点所连直线两侧分布得尽可能一样多，如有人选取了(165，52)和(168，54)这两个成对数据，得到直线方程为2x−3y−174=0．因此，一个身高166cm的15岁男生，他的体重大致为52．667kg．方法2将所有的点分成两部分，一部分是身高在165cm以下的，一部分是身高在165cm以上(含165cm)的;然后每部分的点求一个平均点:165cm以下的身高、体重的平均数(取整近似)作为一个平均点，即(158，48)，165cm以上(含165cm)的身高、体重的平均数(取整近似)作为另一个平均点，即(172，56);最后将这两点连接成一条直线，得到直线方程为4x−7y−296=0．因此，一个身高166cm的15岁男生，他的体重大致为52．571kg．上面两种方法都有一定的道理．用方法1，若x=175cm，则可计算y≈58．667kg;用方法⒉，若c=175cm，则可计算y≈57．714kg．每一种方法均与实际观测值有偏差三、应用举例例1下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(单位:杯)与当天气温(单位:℃)的对比表:气温/℃261813104-1杯数/杯202434385064(1)根据上表中的数据画出散点图．(2)你能从散点图中发现当天气温与卖出热茶的杯数近似地呈现什么关系吗?(3)如果近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．(4)如果某天的气温是-5℃，预测这天小卖部卖出热茶的杯数．解(1)散点图如图．(2)从散点图中发现:当天气温与卖出热茶的杯数近似地呈线性关系，卖出热茶杯数随着气温的升高而减少，当天气温越高，卖出热茶的杯数越少．(3)线性关系如图．(4)选取散点图中的两个点，使得其余的点在这两个点所连直线两侧分布得尽可能一样多，例如，选取(4，50)和(13，34)，得到直线方程为:16x+9y−514=0．因此，当天气温为-四、课堂练习1．下面4个散点图中，不适合用直线拟合其中两个变量的是()．2．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表:x/s5101520304050607090120y/μm610101316171923252946⑴观察表中数据的变化趋势．⑵在直角坐标系内作出图象．⑶观察图象中的点有什么特点?参考答案：1．解析：根据题意知，适合用直线拟合其中两个变量的散点图，必须是散点分布比较集中，且大体接近于某一条直线，分析选项中的4个散点图可得，A中的散点杂乱无章，最不符合条件．答案为A．2．解析：（1）观察表中数据发现随着腐蚀时间x的增加腐蚀深度y也逐渐增加．（2）做出散点图（3）所有散点大致分布在图中画出的一条直线的附近．五、课堂小结散点图：成对数据的点，构成的图称为散点图．曲线拟合：如果变量之间存在着某种关系，这些点有一个大致趋势，这种趋势通常可以