线性代数课件-第3讲阶行列式定义

第3n线性代数59主讲 大 教 Jan Jan第3n高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网概率论与数理统计70讲 传课 考研题评讲 传课 :@ Jan第3n及线性代数59讲受 各地大学生的欢 件 课程的 望对你的学习有所帮助 现在我 的课望对你的学习有所帮助(联 的著作权，切勿在网(联 Jan1.3n阶行列式的定第3nDeterminantsofOrder第3n观我的《高等数学》(全部138讲 和《线性请在优酷网搜索我 + Jan第3n第1讲二阶行列式第2讲三阶行列n Jan第3n面两讲，为了方便地表示二元与三元性方程组的解，我们引入了二阶与三阶行式的概念和记号a11x1a12x2 x x

大学

1 x x1

x

a32

a33x3

Jan第3n为了研究n元线性方程组，我们需要将行列式的概念加以推广，引入n阶行列 我们来观察二阶和三阶行列式的特点 Jan a a

第3n

大 同列的元素的乘积的代数和(共2!=2项)。其中每一项的第一个元素取自第1行(行标1)，第2个元素取自第 标为2)大顺序从小到大排列的：12 Jan 第3n a a

没有产生逆序。排列12的逆序数为偶数0，是偶排列a12a21带负号，它的两个数的列标排列是了一个逆序(inversion)。湛 Jan 第3n

a a

a12a21带负号排列21的逆序数为奇数1，是奇排列用记号τ(p1p2表示排列p1p2的逆序则τ(12)0τ(21) 二阶行列式可写成

大

Jan

第3n

a11a23a32a12a21a33 列的元素的乘积的代数和(共3!=6项) 大其中每一项的第一个元素取自第1行(行标为素取自第3行(行标为3)。川大学大 Jan 带正号3项

第3naaa2 a大带负号3

τ(123)=0τ(231)=2均为偶数、是偶排 τ(213)=1带正号3带负号3

第3nτ(123)=0τ(231)=2均为偶数、是偶排 均为奇数、是奇排因此行列式各项可以写成：川大 1 2 3

Jan

第3n 1 2 3三阶行列式可以写成 大

aaa2a12a2 a大

2 2 3 Jan

nn2aij(ij=1,2,…,n，它们构成一 大

1p

an

、不同列的n个元素各项所带的正负号按以下方式确定 Jann n

第3n an

2 2

n

Jan

第3n n n

2 2

an

大排列的个数相等，都是n!/2个。故n阶行列式的展开式中带正号和带负号的项各占一半，均为n!/2项。 大 Jan例如，4

第3n

a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43

它等于一切不、不同4个元素的乘积的代数和(共有4!=项。 (1)τ(p1p2p3p4)

2 3 4p1,p2,p3,注意：4阶(或更高阶)的行列式不能用对 Jan14阶行列

第3n

(1)τ(p1p2p3p4)

p1,p2,p3,

2 3 4 其中的 a12a2a 带什么符号大τ(2431)121所以，该项带正号

Jan

第3n

p

123

1p 写出含有因

大的项 大(1)3 (1)4 τ(4123) τ(4213)31 Jan2计算下三角形行列式（斜边为主对角线）

解行列式的一般

a1

只需考虑不为零的

大 大2行不能a21，故只a22同理3行，不能a31a32，故只能a33 Jan

a11a22 大

大a

因此唯一可能不为零的项

τ(12...n)

该项取正号：a11a22斜边为主对角线斜边为主对角线的下三角形行列式等于其角线上的元素的乘积第3n同理上三角形行列式（斜边为主对角线） 0

a11a22大 Jan例

第3n 0

821(3) Jan第3n例3计算上三角形行列式（斜边为次对角线

0

解行列式的一般项为apa2 第n列只能取可能不为零的a1n。 第n−1列不能取a1,n−1，故只能取a2,n−1。niai+1,n−i(i=0,2,n−1) Jan

第3n

大

a1na2,n1

a1na2,n1τ(n,n1...21)(n1)(n2)...21n(n2

Jan第3n

(1) 1532 0 Jan推论（同济五版7

第3n主对角

λλ行列式

大行列式

λλ Jan第3n

Jan第3nn阶行列式的等价定 Jan

第3n行顺序定 an

nn

负号取决于列标排列的奇偶性列标是偶排列时，该项带正号列标是奇排列时，该项带负号

Jan第3讲阶行列式的定义第3讲阶行列式的定义 行标是偶排列时，该项带正号行标是奇排列时，该项带负号

下一Jan第3讲阶行列式的定义第3讲阶行列式的定义

(1n

r r1r rrrrr1

是n阶行列式中 及 大标排列和列标排列的奇偶性 行标排列和列标排列的奇偶性相同时(这时行标列的逆序数与列标排列的逆序数之和是偶数)，该项带号；否则带负号(这时行标排列的逆序数与列标序数之和是奇数) 证明见下一 请在优酷网搜索我请在优酷网搜索我+：