高中数学高考40第七章 不等式、推理与证明 7 4 基本不等式及其应用

§7.4基本不等式及其应用第七章不等式、推理与证明NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理ZHISHISHULI(1)基本不等式成立的条件：

.(2)等号成立的条件：当且仅当

时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R).a>0，b>0a＝b2ab2以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为

，几何平均数为

，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当

时，x＋y有最

值

.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当

时，xy有最

值

.(简记：和定积最大)x＝yx＝y小大1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测JICHUZICE123456(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(

)××√××√123456(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(

)题组二教材改编2.[P99例1(2)]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为A.80 B.77 C.81 D.82√1234563.[P100A组T2]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是___m2.123456解析设矩形的一边为x

m，面积为y

m2，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.25A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件123456题组三易错自纠√123456即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.√6.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5123456√123456故4x＋3y的最小值为5.故选D.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1

(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为___.多维探究解析∵x>1，∴x－1>0，命题点2常数代换法√解析由题意可得，a1＝q，∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2，即qm·q2n＝q8，即m＋2n＝8.当且仅当m＝2n时，即m＝4，n＝2时，等号成立.命题点3消元法√解析∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.当且仅当a＝2，b＝8时取等号.故选B.(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.思维升华A.8 B.9 C.12 D.16√当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立.故选B.A.2 B.3 C.4 D.6√解析

∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋1>0，b＋c>0.题型二基本不等式的综合应用多维探究命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题√解析

根据题意，结合向量数量积的定义式，即a2＋b2＝9，结合基本不等式，命题点2求参数值或取值范围A.2 B.4C.6 D.8√即正实数a的最小值为4，故选B.求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.思维升华√解析由△ABC的面积为2，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.√解析

由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题.过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO利用基本不等式求解实际问题例

某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－

(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；解由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k⇒k＝2，(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？∴y≤－8＋29＝21，ymax＝21(万元).故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.素养提升利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.3课时作业PARTTHREEA.3 B.4C.6 D.8√12345678910111213141516当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.基础保分练A.x＝y

B.x＝2yC.x＝2且y＝1 D.x＝y或y＝1解析∵x>0，y>0，12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题意知，正数a，b满足a＋b＝1，4.若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为A.8 B.6C.4 D.2解析由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，√12345678910111213141516当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.5.已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是A.4 B.212345678910111213141516解析由题意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，√6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为√12345678910111213141516123456789101112131415167.设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是___.123456789101112131415166123456789101112131415164解析设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题意得b2＋c2－a2＝bc，12345678910111213141516∵a2＝b2＋c2－bc，∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c时，等号成立)，解析由题意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab，12345678910111213141516当且仅当ab＝1时取等号.11.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；1234567891011121314151612345678910111213141516解∵x>0，y>0，当且仅当2x＝5y时，等号成立.此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.12345678910111213141516解∵x>0，y>0，1234567891011121314151612.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.12345678910111213141516(1)试用x，y表示S；12345678910111213141516解由题意可得xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？1234567891011121314151612345678910111213141516＝1808－240＝1568，即x＝40时等号成立，S取得最大值，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值.12345678910111213141516令f′(x)＝0，则x＝40，当0<x<40时，f′(x)>0；当x>40时，f′(x)<0.所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45.12345678910111213141516技能提升练√12345678910111213141516∴(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcos