复试信号与系统第三章

第三章

周期信号的傅立叶级数主要内容对复指数信号的简短复习LTI系统对复数指数信号的响应连续时间周期信号的傅立叶级数表示傅立叶级数表示的确定–频谱截断的傅立叶级数---吉伯斯现象滤波器与滤波复指数信号在连续时间域:参数当σ=0

,复指数信号是周期为T的周期信号。复指数信号有时，称ejωt

复正弦信号。欧拉公式:当σ>0x(t)

递增当σ<0x(t)

衰减返回3.2LTI系统对复指数信号的响应对LTI系统，如果输入信号为复指数信号，输出同样为复指数信号，仅仅是幅度发生了改变。

LTI系统

LTI系统3.2LTI系统对复指数信号的响应为什么?

h(t)令结论:对LTI系统，如果输入信号为复指数信号，则起输出反应为以H(s)修正过的相同复指数信号。

3.2LTI系统对复指数信号的响应此结论对离散LTI系统同样适用。3.2LTI系统对复指数信号的响应因此我们可以容易地写出系统的输出。令

LTI系统对于LTI系统的分析，我们通常是把一般的信号借助于复指数这样一种特征函数来分解。3.2LTI系统对复指数信号的响应这意味着：将信号表示成复指数的线性组合就会导致一个LTI系统响应的方便表达式。

LTI系统3.2LTI系统对复指数信号的响应在离散时间域，同理，若一个离散时间LTI系统的输入表示成复指数的线性组合，即：则输出就一定为：3.2LTI系统对复指数信号的响应如果输入为x(t)=ej2t,确定输出信号y(t)及特征值H(s)。例3.1

考虑输入x(t)和输出y(t)是一个延时为3的LTI系统。对比3.2LTI系统对复指数信号的响应如果系统的输入为一正弦信号的线性组合:输出为：利用欧拉公式：可知3.2LTI系统对复指数信号的响应特征值:3.2LTI系统对复指数信号的响应通过欧拉公式，得到输出为：3.2LTI系统对复指数信号的响应从这个例子，我们可以看到，如果作用于LTI系统的输入是复指数信号的线性组合，那么相应的输出响应也是相同复指数信号的线性组合。3.2LTI系统对复指数信号的响应如果输入是正弦信号的线性组合，则输出也是相同正弦信号的组合。x(t)

是{est}或者{sin(t)/cos(t)}的线性组合。返回3.3连续时间周期信号的傅立叶级数3.3.1成谐波关系的复指数信号的线性组合如第一章定义,一个信号是周期的,则存在某个正值的T,有:对所有的t值x(t)

的基波周期就是满足上式的最小非零正值T。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数基波频率定义如下：弧度/秒前面讲述了两种基本的周期信号：正弦信号和周期复指数信号。基波周期基波频率3.3连续时间周期信号的傅立叶级数成谐波关系的复指数信号集定义为：可以利用成谐波关系的复指数信号的线性组合来构建一周期信号x(t):周期信号3.3连续时间周期信号的傅立叶级数考虑一个信号x(t)，基波分量二次谐波分量直流分量3.3连续时间周期信号的傅立叶级数现给出周期信号的傅立叶级数的复指数形式表示和三角函数形式表示：复指数傅立叶级数:三角函数傅立叶级数:3.3连续时间周期信号的傅立叶级数傅立叶级数的存在条件:一个周期信号x(t)

满足下述的狄里赫利条件，则存在傅立叶级数：1.在任意周期内，x(t)

必须绝对可积，即：例3周期信号，周期为1，不满足此条件。条件1:在一周期内，信号绝对可积。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数2.在任意有限区间内，x(t)具有有限个起伏变化，即在任何单个周期内，x(t)的最大值和最小值的数目有限。例2不满足条件2的一个函数是对此函数，其周期为1，有条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数3.在x(t)的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。例3不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。条件3：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数例3.2

考虑一个周期信号x(t),

基波频率为2π,表示如下：其中将x(t)表示为三角函数形式。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数将ak

代入到x(t)可以得到：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数x(t)

图象描述如下:3.3连续时间周期信号的傅立叶级数从这个例子可知，x(t)

是实周期信号，对任意实周期信号x(t)

有：将上述求和式里的k

变换为–k，有：因此得到：or并且，当ak为实数，则：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数实际上，三角函数傅立叶级数可以通过系数之间的关系得到。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数系数之间的关系：返回3.3连续时间周期信号的傅立叶级数3.3.2连续时间周期信号傅立叶级数表示的确定给定一连续周期信号x(t),

如果满足狄里赫利条件，则其存在傅立叶级数：ak

为复数。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数这对公式定义了连续周期信号的傅立叶级数：T

为基波周期，ω0

为基波频率。分析公式综合公式3.3连续时间周期信号的傅立叶级数考察傅立叶级数综合公式：系数{ak}

成为傅立叶级数系数，或者x(t)的频谱系数。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数这表明，一个连续周期信号可以看作为一个由无限成谐波关系的复指数信号分量构成的线性组合。通常，我们用条线图来描述在不同频率的谐波分量的幅值。观察下述例子。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数例-3.3

考虑信号

x(t)=sinω0t确定其傅立叶级数表示。解答:

利用欧拉公式，有：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数利用条线图表示频谱如：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数例-3.4

令利用欧拉公式：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数可见：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数利用条线图描述信号如下：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数利用MATLAB

描绘出其幅度频谱和相位频谱如下：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数例-3.5

考虑如下周期性方波：其基波周期为T,基波频率为ω0=2π/T。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数计算其傅立叶级数系数如下：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数当T=8T1，其幅度频谱描述如下图：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数定义一重要函数：现在，详细讨论周期性方波x(t)的傅立叶系数ak。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数Sa(x)

称为“抽样函数”。Sa(x)

的重要有用性质：1.Sa(x)的积分特性或者2.Sa(x)

是关于变量x的偶函数。当独立变量x=±π,±2π,

±3π,…,±nπ,

…

,Sa(x)

的函数值为0。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数π2π3.3连续时间周期信号的傅立叶级数还有同类函数定义如下：3.3连续时间周期信号的傅立叶级数从例3.5,我们可以看到，周期性方波的谐波分量的幅值所形成的包络就是sinc

函数。返回吉布斯现象周期性信号x(t)的傅立叶级数通常是一个无限级数，这也表明其频率分量是无限的。实际上，我们通常利用有限个频率分量来对原信号x(t)进行逼近。吉布斯现象x(t)

的傅立叶级数的部分和称为x(t)的截断傅立叶级数。其含义为xN(t)

仅仅包含x(t)的低频分量。因此，x(t)

和xN(t)

之间的误差得以引出。吉布斯现象重新考虑周期性方波。首先看关于吉布斯现象的MATLAB程序：clear,closeallt1=10;dt=0.005;t=-t1:dt:t1;T=2;T1=T/4;x1=u(t+T1)-u(t-T1);x=0fori=-2:2;

x=x+u(t-i*T+T1)-u(t-i*T-T1);endN=input('TypeinthenumberofharmoniccomponentsN=');吉布斯现象%====================================%ComputationoftheFourierseriescoefficients%====================================L=2*N+1;%Thenumberofcoefficientsk=-N:N;forr=1:L;

an(r)=(1/T)*x1*exp(-j*((-N+r-1)*2*pi/T)*t')*dt;end%Synthesisofsignaly=0;forq=1:L;

y=y+an(q)*exp(j*((-N+q-1)*2*pi*t/T);end;吉布斯现象N=23吉布斯现象N=11吉布斯现象N=7吉布斯现象N=3吉布斯现象从上可以得到：1.

在不连续点附近，部分和的波形呈现起伏。2.

若不连续点处的高度为1，则部分和所呈现的起伏峰值的最大值为1.09,即有9%的超量。3.

所呈现的起伏峰值的最大值不随N的增大而下降，即9%

的超量保持不变。这就是吉布斯现象。吉布斯现象注意：对在任意周期内没有不连续点的周期信号而言，吉布斯现象不存在。为理解吉布斯现象，观察关于吉布斯现象的matlab实验结果。返回3.8傅立叶级数与LTI系统傅立叶级数表示可以用来构造任何离散时间周期信号，以及在实际上具有重要意义的几乎所有连续时间周期信号。另外，一个LTI系统对复指数信号的线性组合的响应具有特别简单的形式。3.8傅立叶级数与LTI系统如下阐述:LTI系统其中，h(t)为系统的单位冲激响应,H(s)称为系统函数。3.8傅立叶级数与LTI系统因为，系统函数和单位冲激响应为一对一的映射，所以，我们可以利用系统函数唯一表示LTI系统。一对一影射H(s)3.8傅立叶级数与LTI系统对一种特殊情况:LTI系统当s=jω,系统函数变为H(jω),成为系统的频率响应。令则3.8傅立叶级数与LTI系统考虑连续时间的情况，令x(t)为周期性信号，其傅立叶级数表示如下：

LTI系统输出响应:3.8傅立叶级数与LTI系统因此，y(t)也是周期信号，与x(t)具有相同的基波频率。而且,如果{ak}

是x(t)

的一组傅立叶级数系数，那么

{akH(jkω0)}

是y(t)的一组傅立叶级数系数.3.8傅立叶级数与LTI系统例3.16

假设在例3.2讨论的周期信号x(t)是某个LTI系统的输入信号，该系统的单位冲激响应为：确定系统的输出响应y(t)。3.8傅立叶级数与LTI系统解答:其频率响应为：从x(t)的表示，得知起基波频率为：3.8傅立叶级数与LTI系统令因此，可求得傅立叶系数{bk}:3.8傅立叶级数与LTI系统现在，转移我们的注意力到LTI系统的频率响应上来。定义:其为h(t)的傅立叶变换。3.8傅立叶级数与LTI系统例考虑RC级联电路。3.8傅立叶级数与LTI系统理解频率响应的物理意义：频率响应表明了LTI系统的频域特征。频率响应H(j)表示了LTI系统是怎样作用于输入信号的。返回3.9滤波在各种不同的应用中，改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量这样一类要求常常是颇为关注的，这样一种过程成为滤波。用于改变频谱形状的LTI系统称之为频率成形滤波器。3.9滤波不过,我们的注意力应该集中到另一种滤波器上,即,频率选择滤波器。3.9.2频率选择滤波器频率选择滤波器是一类专门用于完全地或者近似地选取某些频率范围内的信号和除掉其它频带范围内信号的滤波器。通过低通滤波器仿真，可知：3.9滤波低通滤波器为通过低频分量，衰减或阻止高频分量。为什么?LTIH(jω)3.9滤波如前阐述，当周期信号x(t)通过LTI系统，x(t)

的每个分量必须由H(jω)加权。频率响应能对频率选择起决定性作用。在实际应用中，有四种基本类型的频率选择滤波器，即，低通滤波器,

高通滤波器,带通滤波器，带阻滤波器。3.9滤波上述四种频率选择性滤波器的频率响应如下所示：理想低通滤波器理想高通滤波器理想带通滤波器理想带阻滤波器3.9滤波上述滤波器为理想频率选择滤波器。理想频率选择滤波器：无失真地通过一组频率上的复指数信号，并全部阻止掉所有其它频率的信号。3.9滤波滤波器相关术语通带阻带截止频率理想低通滤波器的频率响应表示如下：通带阻带阻带3.9滤波例：考虑周期性方波。给定一个理想低通滤波器，其截止频率为ωC=6π弧度/秒,当周期性方波作用于理想低通滤波器，确定其输出响应y(t)。ωC=6π

弧度/秒3.9滤波解答:

为方便计算，假设，直流分量3.9滤波ωC=6π

弧度/秒3.9滤波输入信号和输出信号的频谱图描绘如下图所示：理想低通滤波器输出信号的频谱3.9滤波输出响应为：3.9滤波输出信号y(t)

描述如下所示：3.9滤波从此例可知：理想低通滤波器能够通过在通带(-

6π≤ω≤6π)范围内的所有频率分量，阻止带外所有频率分量。注：理想滤波器不可能实现。3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例什么样的滤波器可以实现？因为，因果性表明了可实现性。因此，如果一个LTI系统是因果的，则其是可实现的。3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例3.10.1简单RC

低通滤波器此为一阶滤波器。输入:vs(t)输出:vC(t)为理解其频率选择性，我们必须先确定其频率响应H(jω)

。3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例通过分析求得系统的频率响应为：---幅频响应---相频响应---极坐标形式3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例相频响应为：幅频响应为：0.707返回3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例现简要考虑一下电路的时域特性。为确定其单位冲激响应，令vs(t)=δ(t),则其微分方程为：当t>0,3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例单位冲激响应:特征方程:特征根:利用系统的初始条件确定系数A。3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例系数A的确定观察微分方程:假设3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例单位冲激响应：因此，可计算系数A的值：单位阶跃响应：3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例根据频率响应的定义:3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例3.10.2简单RC

高通滤波器选择电阻两端的电压作为电路的输出。在这种情况下，微分方程如下：3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例为确定频率响应G(jω),代入

vs(t)=ejωt

和vR(t)=G(jω)ejωt

到微分方程，有：3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例频率响应为：根据幅频响应，可知系统为高通滤波器。3.10用微分方程描述的连续

时间滤波器举例如同低通滤波器，电路参数既控制了高通滤波器的频率响应，又控制了它的时间响应特性。因为：3