我大一-复变函数节积分概念

曲内起点为终点A终点为条光滑的有向曲线。 f(0k∫fC

s

OC存在性f(z在分段光滑曲线C上连续，则f(z)dz存在Czz(t)x(t)记f(z)ux,yivx,y

t:且z(t∫f(z)dz∫(uiv)(dx ∫(udxvdy)i∫(vdx xx(tyy(tt:∫xx(tyy(tt: ∫[ux(t)vy(t)]dti∫[vx(t)uy(t ∫(uiv)[x(t)iy(t∫f[z(t)]z(t)dt

C:zz(t),t:∫f(z)dz∫f(z)dz, C∫[k1f(z)k2g(z)]dzk1∫f(z)dzk2∫g(z)dz, k1k2为复常数C=C1+C2+…+Cn∫f(z)dz∫f ∫f(z)dz ∫f ∫f ∫f(z)dsML 其中，f(z)MzCL为C的长度例1.∫zdz,其中C为从原点到点3+4iCz(34i)t,dz(31∫zdz∫(34i)2tdt

t:01(34i)22例2

,其中Cy1x从原到点1+i的y1x1+i的直线段所接成的折线；1解：1)C z(t)(1i)t,t:01∫zdzC

0(1i)t(1i)dtC1 z(t)t,t:01,C2 z(t)1it,t:01,1∫zdz 1

tdt

1(1it0 C1i例3.

∫(zz∫

,n为整数C:|zz0|rzz0zzrei,:02dzireid,0∫∫(zz)n1

rn1ei(n1) 2

21

z

2

rn

d2 n

n第节柯西-古萨基本定理例1:∫zdz与路径无Cf(z)=z在单例2:∫zdz与路径有Cf(zz例

2i与路径有

z被积函数f

z

f(z)在单连通区域B内处处解析，则对Bf(z)dz (C1825年，Cauchy在附加条件“f(z)在B内连续”下证得结论1900年，Goursat去掉条件f(z)在B内连续”证得结论，假设f(z)在区域Bf(z)u(x,y)iv(x,f(z)在B内解f(z)uxivxvyiu∫f(z)dz∫udxvdyi∫vdx Green∫udxvdy∫∫(vxuy ∫f(z)dzC

注√(2)如闭曲线C是区域Bf(z)在BB∪C上解析则∫f(z)dzC如闭曲线C是区域B的边界，函数f(z)在B内解析,且f(z)∫f(z)dzC例1.,C:|z|1∫ dz ∫CzCez C

C

2z

dz,coszC

z3dz,(2z)2第节原函数与不定积分定理一f(z在单连通区域Bf(z)dz与连接起点及终点的路线CC∫f(z)dz∫f(z)dz∫f(z)dz 固定z0，让z1在B内变动，并记z1=zf(z)dz在BF(zzF(z)∫f定理二f(z在单连通域Bzf(z)dz 必为B内的一个解析函数，并且F(z)f原函数的定义如(z)f(z),则称(z)为f(zf(z定义不定积分:f(z)dzG(zC,ewton-Leibniz∫f(z)dzG(z1)G(z0例1：求∫zezdz,其中C是从01i ∫zezdzC

120

zez(zez

1 0(12

12

1 12例2：求∫1dz其中C是区域

argz

内从1zC z解:z∫1∫C

1lnz1ln例3：Im(z)≥0,Re(z)≥0内的圆弧|z|=1iln(z1∫z 1∫z ∫z 1

dz

1ln2(zi i n22

ln24

3ln

ln2 第节柯西-古萨基本定理的推广f(z)在单连通区域B内处处解析，则对Bf(z)dz (CDCDC

∫f(z)dzC ∫f(z)dzCDCzC如C的内部不全含于D，则不一定有f(zDCzC如∫|zz0|

dz zz0

2CDCDCC1设C,C1是D内任意两条简单闭曲线，都取正向，且以C和C1为边界的区域D1CC1设CC1是D内任意两条简单闭曲线，都取正向，且以CFABFABDCE∫f(z)dz∫f(z)dz1 C1⇒∫f(z)dz∫f(z)dz Γ是一个多连通域的正Γ是一个多连通域的正1记CC1

∫f(z)dz设C为多连通域D内的一条简单闭曲nC2…，Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，…，Cn为边界的区域全含于D。如果f(z)在D内解析，那么nf(z)dzf(z)dz,C，CkC2C kC2C∫f(z)dzCC C 计算∫(z 计算

,n为整数Γ为任一不经过z0点的正向解：1)当z0在Γ所围区域D的外部时,∫z∫z(zz 0Γ当 D时0Γ∈n10,n1∫∫(zz)n1

如n10,即n1时，由闭路变 z0z∫∫(zz

0(zz0∫∫(zz

(zz00∫∫Γ(zz)nΓ

n n2i,当z0在Γ所围区域的内部且n

当z0在Γ所围区域的外部或n

z0

2

∫2z1dzz2z为包含圆周解在内作两个互不包含也互 2z1dz

2z1dz 2z1 ∫z2

∫z2

∫z2

C C C ∫zdz∫z1 ∫zdz∫z1C C2i002i4z z

∫ezdz,其中o12z2和负向圆周z1组成o12解显然C1和C2个圆环域.

f(z)z构成复合闭路,所以根据∫z∫zedz ∫z∫z

dz z∫zz∫

dz

∫(z2

dz其中Γ:|z|RR0且R11)(z 设B为单连通域f(z)在B内解析z0∈B,设C为Bz0Cz0C0f(z)在z不解析0z在C内部作CR:|zz0|=R(取其正向∫f(z)d

∫f(z)

RRdz R

f(z0)dR zR

z

z2πif(z0C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内部的任一点,则f(z0)

2π

f(z)dz.zz

f(z)或z

dz2πif(z0∫ ∫CCD 故任给>0,存在>0,当|zz0|<时,在C内部作CR:|zz0|=R(取其正向∫f(z)dz∫f(z)dz∫f(z0)dz∫f(z)f(z0)d z z z z 2πif(z0∫f(z)f(z0)dzCDR∫f(z)f(z0)dR zR

∫|f(z)f(z0)|dR |zz0R∫ds2πRR ∫f(z)f(z0)dzR zR∫ f(z)∫z

dz2πif(z0f(z0)

2π

f(z)d∫z∫

f(z) ∫f(z)dz02πCz0说明:1) f(z) ∫f(z)dz02πCz0特别如C|zz0|R,z=z0+Reif(z) 2 f Rei)d 2π 柯西积分公式的应用可求积分∫f(z)d

z 1

∫sinzd ∫ dz;2πi

|z|2zd

z2∫∫

2z1ez(z2z)

dC 由式,f(z0)

f(z)dz.∫z∫ 如果各阶导数存在,进行,

f(z)

f(z0)

2i∫(zz

dz,

Cf(z)21

0f0

dz,(2C C

(zz

f(n)(z)

n! f

dz.

0 0

C(zzC 设函数f(z)在区域D内解析z0在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线且C的内部全含于D,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且0f(n)(z)0

f(z)2πi (zz∫ ∫

(n1,2,3, CzCz0D)f(n)(z0

f(z) d∫(zz∫

b)z0在C的内部高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,例1.

z3∫(z∫z

dz. 因为函数f(z)

z01在z2内,n=3,根据高阶导数公式0f(n)(z)0

n!

f(z) dz,∫0C(zz∫04∫z31dz4

[z3

2i.z2(z

例

∫ezcosz

dz. 因为函数f(z)ezcosz在复平面解析,z00在z1内,n=1,根据高阶导数公式.∫z

ezcoszdz

(e

2i[ezcoszezsin

例3.求积分

ez2dz其中C

zrCz2ez解.函数(z2 在C内的z

在C内分别以i-iC1yiiCoeze∫C(z21)2 ez ez1

(z2

2dz2

(z2

2dz.eze

2dz

(zi)2

(z2 2i(21)!(zi)2

(1i)e2eziiCo 同理 dz

(zi)2dz(1i)ei2.2 ez (1

(zi) (1i)ei∫C(z21)2dz (1i)(ei iei)i(sin12f(z)在B内解析f(z)dz0C为BMorera定 设B为单连通域，如f(z)在B内连续，且对B内何一条简单闭曲线C有f(z)dz0,则f(z)在BC1.

dz. ∫1zz2 ∫zi2

z(zi)z(zi)1 z(z2

z(zi)(z

z

z0i i

∫f(z)zi2

z(z2 zi2

z2i

1z(z1z(zi)

x2y2f(z)

327

求f(1i). 根据 f(z)2πi327 2i3z27z 于是f(z)2i(6z7),而1+i在C内,f(1i)2(6例 计算积

dz,其中zC 2zC

z

12

z

1 (3)2

z (1)根据sin

sinsinsin4z∫z12

z2

dz

z12

zz

dz2i

z12 22根据

sin

dz

z1z12

z12

z2i

sinsin4z

222∫

dz

dz

sinπ z

z2 z112

z2

z12

z2 2i2

2i2

例

e∫ez

dz,

其中n为整数ez (1)n0时,函数zn

z1上解析由Cauchy积分定理eze∫z

dzn=1时,由z∫ez∫nz1n

dz2i(ez

2i.n>1时,根据0f(n)(z)0

n!

f(z) dz,∫0C(zz∫0ez

(∫z

zndz

(e(n

(n1)!例

∫coszdz其中C z Czr

cos z

.但cosz在C内处处解析,所以根据.5∫coszdz5

(z

(5

偏导数(Laplace方程x2

则称(x,y)是区域D内的调和函数 设f(z)u(x,y)iv(x,y)是区域D内的解 因为f(z)在D内解析,所以满足C-R条件 xy yx

将uv

u 2u

2u

x2

当混合偏导数连续时，求导次序可以交换.2u x2

.D内两个调和函数u(x,y)和考虑f(z)x2y22xyi和f(z)x2y22xyi.如果u(x,y)和v(x,y)都是区域D内的调和函数,且 区域D内解析函数的虚部为实部的共轭调和已知u(x,y)是区域D内的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)，使得函数f(z)=u＋iv或者已知调和函数v(x,y)时，是否存在调和函数u(x,y)，使得f(z)=u＋iv是D内的解析函数?例

u(x,y)

3x2y解u6

6 x2u3y2

3x2

6于是x

2u

故ux,y)为调和函数

由

6xy, v6∫xydy3xy2g(x),3y2g(x).x又因为vu3y23x2 3y2g(x)3y23x2gx∫3x2dxx3C(其中C为任意实常数vx,yx33xy2Cwy33x2yi(x33xy2C令xzz,yzz wf(z)i(z3C22因为u622

3

3x, f(z) uiu6xy3(y2x2 令y0,即z在实轴上取值,则f(x)3ix2 实部u不包含常数故fx)ix3C)(C是实常数将x替换成z即得f(z)i(z3C注：此处用到解析函数的惟一性定理 v(x,y)ex(ycosyxsiny)x是解析函数f(z)的虚部且f(0)=1求f(z)的表达式 因为u

, ye(cosyysinyxcosy)u∫ x(cosyysinyxcosy)1dxex(xcosyysiny)xg(又因为

u, xe(ycosyxsinysiny)ex(ycosyxsinysiny)ex(xsinyycosy