2022-2023学年云南省保山市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年云南省保山市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.

3.

4.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

5.函数y=sinx在区间[0，n]上满足罗尔定理的ξ=A.A.0B.π/4C.π/2D.π6.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)7.A.1B.0C.2D.1/28.设()A.1B.-1C.0D.29.设y=sin2x，则y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx

10.

11.A.2/5B.0C.-2/5D.1/2

12.

13.为了提高混凝土的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，梁中钢筋(图中虚线所示)配置最为合理的是()。

A.

B.

C.

D.

14.当x→0时，x2是x-ln(1+x)的()．

A.较高阶的无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.较低阶的无穷小15.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.216.A.A.0

B.

C.

D.∞

17.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

18.

19.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

20.

21.

22.在空间直角坐标系中，方程2+3y2+3x2=1表示的曲面是()．

A.球面

B.柱面

C.锥面

D.椭球面

23.

24.

25.当a→0时，2x2+3x是x的()．A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小，但不是等价无穷小D.低阶无穷小

26.设z=x3-3x-y，则它在点(1，0)处

A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.无法判定

27.

28.

29.（）。A.收敛且和为0

B.收敛且和为α

C.收敛且和为α-α1

D.发散

30.函数f(x)=5x在区间[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.5

31.

32.

33.设函数f(x)在点x0。处连续，则下列结论正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

34.设f(x)在x=0处有二阶连续导数

则x=0是f(x)的()。

A.间断点B.极大值点C.极小值点D.拐点35.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

36.

37.

38.

39.A.

B.

C.

D.

40.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

41.

42.若收敛，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

43.

44.

45.A.A.1

B.3

C.

D.0

46.设f'(x0)=1,则等于()．A.A.3B.2C.1D.1/2

47.

48.

49.若，则下列命题中正确的有()。A.

B.

C.

D.

50.设f(x)为连续函数，则(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

二、填空题(20题)51.

52.

53.

54.过点M0(2，0，-1)且平行于的直线方程为______．

55.

56.

57.设z=x3y2，则58.

59.

60.61.62.设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____。63.函数的间断点为______．

64.微分方程y'=ex的通解是________。

65.

66.

67.cosx为f(x)的一个原函数，则f(x)=______．68.

69.

70.

三、计算题(20题)71.

72.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．73.求微分方程的通解．74.75.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．76.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

77.

78.79.

80.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

81.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．82.83.证明：84.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．85.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

86.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

87.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

88.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

89.

90.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)91.设y=x2+2x，求y'。

92.求曲线y=在点(1，1)处的切线方程．93.设y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求y'．

94.

95.96.97.98.将f(x)=ln(1+x2)展开为x的幂级数．99.求y"-2y'=2x的通解．100.五、高等数学(0题)101.某工厂每月生产某种商品的个数x与需要的总费用函数关系为10+2x+

(单位：万元)。若将这些商品以每个9万元售出，问每月生产多少个产品时利润最大?最大利润是多少?

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.B

2.A

3.B

4.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

5.Cy=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，sin0=sinπ=0，可

知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，由于(sinx)'=cosx，可知ξ=π/2时，cosξ=0，因此选C。

6.C本题考查了定积分的性质的知识点。

7.C

8.A

9.C由链式法则可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x，故选C。

10.B

11.A本题考查了定积分的性质的知识点

12.B

13.D

14.C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

由于

可知当x→0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小．故应选C．

15.A

16.A本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质．这表明计算时应该注意问题中的所给条件．

17.B本题考查了一阶线性齐次方程的知识点。

因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此为常系数一阶线性齐次方程,其特征根为r=2,所以其通解为y=Ce2x,又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.

注:方程y'=2y求解时也可用变量分离.

18.D解析：

19.D解析：

20.C

21.A

22.D对照标准二次曲面的方程可知x2+3y2+3x2=1表示椭球面，故选D．

23.C解析：

24.C

25.C本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

应依定义考察

由此可知，当x→0时，2x3+3x是x的同阶无穷小，但不是等价无穷小，故知应选C．

本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小卢与无穷小α的阶的关系时，要判定极限

这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误．

26.C

27.D解析：

28.B

29.C

30.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上单调增加，最大值为f(1)=5，所以选D。

31.B解析：

32.C

33.D本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系．由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则可知选项D正确，C不正确．由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确．

34.C则x=0是f(x)的极小值点。

35.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

36.D解析：

37.A

38.B

39.A

40.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

41.C解析：

42.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有，可知D正确．而A，B，C都不正确．

本题常有考生选取C，这是由于考生将级数收敛的定义存在，其中误认作是un，这属于概念不清楚而导致的错误．

43.A

44.C

45.B本题考查的知识点为重要极限公式．可知应选B．

46.B本题考查的知识点为导数的定义．

由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知

可知应选B．

47.D

48.D

49.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义。

50.C本题考查的知识点为不定积分的性质．

(∫f5x)dx)'为将f(5x)先对x积分，后对x求导．若设g(x)=f(5x)，则(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先将g(x)对x积分，后对x求导，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知应选C．

51.

52.

53.-4cos2x

54.

55.4π

56.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．57.12dx+4dy；本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

由于z=x3y2可知，均为连续函数，因此

58.

59.60.1/6

61.

62.

63.本题考查的知识点为判定函数的间断点．

仅当，即x=±1时，函数没有定义，因此x=±1为函数的间断点。

64.v=ex+C

65.

66.67.-sinx本题考查的知识点为原函数的概念．

由于cosx为f(x)的原函数，可知

f(x)=(cosx)'=-sinx．

68.

69.

70.71.由一阶线性微分方程通解公式有

72.

列表：

说明

73.

74.

75.76.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

77.

78.

79.

则

80.

81.

82.

83.

84.函数的定义域为

注意

85.

86.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

87.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％88.由二重积分物理意义知

89.90.由等价无穷小量的定义可知

91.y=x2+2xy'=(x2)'+(2x)=2x+2xIn2。y=x2+2x，y'=(x2)'+(2x)=2x+2xIn2。92.由于

所以

因此曲线y=在点(1，1)处的切线方程为或写为x-2y+1=0本题考查的知识点为曲线的切线方程．93.解法1将所给方程两端关于x求导，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，则本题考查的知识点为隐函数求导法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0确定，求y'通常有两种方法：

一是将F(x，y)=0两端关于x求导，认定y为中间变量，得到含有y'的方程，从中解出y'．

二是利用隐函数求导公式其中F'x，F'y分别为F(x，y)=0中F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数．

对于一些特殊情形，可以从F(x，y)=0中较易地解出y=y(x)时，也可以先求出y=y(x)，再直接求导．

94.

95.96.本题考查的知识点为参数方程的求导运算．

【解题指导】

97.本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．

积分区域D如图2—1所示．

解法1利用极坐标系．

D可以表示为

解法2利用直角坐标系．

如果利用直角坐标计算，区域D的边界曲线关于x，y地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点．注意

可以看出，两种积分次序下的二次积分都可以进行计算，但是若先对x积分，后对y积分，将简便些．

本题中考生出现的较普遍的错误为，利用极坐标将二重积分化为二次积分：

右端被积函数中丢掉了r，这是考生应该注意的问题．通常若区域可以表示为

98.由于

因此

本题考查的知识点为将函数展开为幂级数．

纲中指出“会运用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x或(x-x0)的幂级数．”这表明本题应该将ln(1+x2)变形认作ln(1+x)的形式，利用间接法展开为x的幂级数．

本题中考生出现的常见错误是对ln(1+x2)关于x的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的．99.y"-2y'=x为二阶常系数线性微分方程．特征方程为y2-2r=0．特征根为r1=0，r2=2．相应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x.r1=0为特征根，可设y*=x(Ax+B)为原方程特解，代入原方程可得

故为所求通解．100.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分