高中数学高考14第三章 导数及其应用 3 2 导数的应用 第1课时 导数的应用

§3.2导数的应用第三章导数及其应用NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.><知识梳理ZHISHISHULI条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0图象极植f(x0)为________f(x0)为_______极值点x0为_________x0为_________2.函数的极值与导数极大值极小值极大值点极小值点3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则

为函数的最小值，

为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则

为函数的最大值，

为函数的最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)1.“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(

)(2)函数的极大值一定大于其极小值.(

)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(

)√×√基础自测JICHUZICE123456789题组二教材改编2.[P96练习T2]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(－2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.当x＝2时，f(x)取到极小值√12345解析在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数.67893.[P93练习T1(2)]函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是___________.(0，＋∞)解析由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞).1234567894.[P99B组T4(4)]当x>0时，lnx，x，ex的大小关系是__________.可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以lnx<x.同理可得x<ex，故lnx<x<ex.12345lnx<x<ex67895.[P104A组T2]现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是______.1234567896.函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.[－3,0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0].123456题组三易错自纠7897.(2018·郑州质检)若函数f(x)＝

＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为_____.－4解析

f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.1234567898.若函数f(x)＝

－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝____.4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.1234567899.已知函数f(x)＝

＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________.解析

f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，1234567892题型分类深度剖析PARTTWO第1课时导数与函数的单调性题型一不含参函数的单调性√自主演练2.函数f(x)＝

的单调递减区间是________________.令f′(x)<0可得x<0或0<x<1，(－∞，0)，(0,1)3.已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调递减区间是________.解析因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，4.(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是___________________.解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx>0，确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.思维升华例1

讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性.题型二含参数的函数的单调性师生共研①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.思维升华跟踪训练1

已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0).试讨论f(x)的单调性.解

由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，②当a＝1时，f′(x)≥0在R上恒成立；当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2

(1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0√多维探究解析因为函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0时，a∈(0,1).又g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.由g(2)＝ln2＋1>0，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－1>0，所以f(b)>0.综上可知，g(a)<0<f(b).(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，xf′(x)－f(x)<0.若

则a，b，c的大小关系是A.b<a<c B.a<c<b

C.a<b<c D.c<a<b又当x<0时，xf′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0，即函数g(x)在区间(－∞，0)内单调递减.因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)内单调递减.由0<ln2<e<3，可得g(3)<g(e)<g(ln2)，即c<a<b，故选D.√(3)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为A.(0,2019) B.(2019，＋∞)C.(2021，＋∞) D.(2019,2021)√∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，m－2019>0，∴m－2019<2且m－2019>0，解得2019<m<2021.∴实数m的取值范围为(2019,2021).(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有

<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是___________________.(－∞，－2)∪(0,2)∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).命题点2根据函数单调性求参数例3

(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝

ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；所以a>－1.

又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞).(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.解因为h(x)在[1,4]上单调递减，1.本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围.解因为h(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，引申探究2.本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.解h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则h′(x)<0在[1,4]上有解，所以a>－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.思维升华跟踪训练2

(1)(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)＝

x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是A.(1,2] B.[4，＋∞)C.(－∞，2] D.(0,3]√解得1<a≤2.(2)(2018·乐山期末)若f(x)＝x2－alnx在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为A.(－∞，1) B.(－∞，1]C.(－∞，2) D.(－∞，2]√∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∵当x∈(1，＋∞)时，2x2>2，∴a≤2.含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.思想方法SIXIANGFANGFA用分类讨论思想研究函数的单调性例

已知函数g(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x，若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，由g′(x)>0，得0<x<1，由g′(x)<0，得x>1.综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；3课时作业PARTTHREE1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是A.(－∞，2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2，＋∞)解析

因为f(x)＝(x－3)ex，所以f′(x)＝ex(x－2).令f′(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).√基础保分练123456789101112131415162.(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.√123456789101112131415163.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是解析利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.√12345678910111213141516解析因为f(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，√123456789101112131415165.已知函数f(x)＝

x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.√123456789101112131415166.若f(x)＝

，e<a<b，则A.f(a)>f(b) B.f(a)＝f(b)C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1√12345678910111213141516则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，所以f(a)>f(b).7.(2018·重庆质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝

，c＝f(3)，则A.a<b<c

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<c<a√12345678910111213141516解析

由题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，1)上为增函数.12345678910111213141516{x|x<－1或x>1}即函数F(x)在R上单调递减.12345678910111213141516∴F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}.9.已知g(x)＝

＋x2＋2alnx在[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围为____________.12345678910111213141516由已知得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，10.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是__________________.(－∞，－1)∪(0,1)12345678910111213141516解析因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.12345678910111213141516则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0<x<1时，由g(x)>g(1)＝0，12345678910111213141516当x<－1时，综上知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是

(－∞，－1)∪(0,1).11.已知函数f(x)＝

(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；12345678910111213141516(2)求函数f(x)的单调区间.所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).1234567891011121314151612.(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f(x)＝

－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2，－2).讨论函数