北京市昌平区2023届高三上学期期末数学试卷+答案

昌平区2022~2023学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷2023.1本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则集合（）A. B.C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（）A.1 B. C.2 D.3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（）A. B.C. D.4.若，，则一定有（）A. B. C. D.5.已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（）A. B.1 C. D.26.若，则（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（）A.16 B.18 C.20 D.229.设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.10.已知向量满足，则的最大值是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知数列中，，则数列的通项公式为__________.12.已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为__________；若，则__________.13.在中，，则__________，__________.14.若直线与圆有公共点，则的最小值为__________.15.已知正三棱锥的六条棱长均为是底面的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交于点（不与顶点，重合）.给出下列四个结论：①三棱锥为正三棱锥；②三棱锥的高为；③三棱锥的体积既有最大值，又有最小值；④当时，.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，（1）求解析式；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.17.不粘锅是家庭常用厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下：检测结果序号品牌名称不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ级Ⅰ级2品牌2Ⅱ级Ⅰ级3品牌3Ⅰ级Ⅰ级4品牌4Ⅱ级Ⅱ级5品牌5Ⅰ级Ⅰ级6品牌6Ⅱ级Ⅰ级7品牌7Ⅰ级Ⅰ级8品牌8Ⅰ级Ⅰ级9品牌9Ⅱ级Ⅱ级10品牌10Ⅱ级Ⅱ级11品牌11Ⅱ级Ⅱ级12品牌12Ⅱ级Ⅱ级（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率；（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量的分布列和数学期望；（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小（结论不要求证明）.18.如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线到平面的距离.19.已知椭圆过点，且离心率是.（1）求椭圆的方程和短轴长；（2）已知点，直线过点且与椭圆有两个不同的交点，问：是否存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，证明：对任意的恒成立.21.已知数列满足：，且.记集合.（1）若，写出集合的所有元素；（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（3）求集合的元素个数的最大值.答案本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.C2.A3.B4.C5.B6.D7.A8.C9.B10.C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.12.；13.①②##14.515.①②④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（1）;选①：函数的图象经过点，则，所以，则，由，可得，则；选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，即的图象可由函数的图象平移得到，则，则.选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的最小正周期为，故，故.（2）当时，,则，故，又当时，关于的不等式恒成立，故,即实数的取值范围为.17.（1）“不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5个，记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级，则（2）前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3个，可能取值为0,1,2,;;;∴分布列为X012P（3）后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2个，可能取值为0,1,2,；；；∴数学期望为18.（1）证明：由题意平面，平面,故平面平面，又侧面为矩形，故,而平面平面平面，所以平面，又平面，所以,而平面，平面，故平面.（2）因为平面，平面，故，而平面，故以A为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为,则,则设平面的法向量为，则,即，令，则，设直线与平面所成角为，则.（3）因为侧面为矩形，所以,而平面,平面,故平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，，平面的法向量为，故点到平面的距离为,即直线到平面的距离为.19.（1）由题意知椭圆过点，且离心率是，则，且，故椭圆的方程为，短轴长为.（2）假设存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形,由于直线过点,当直线斜率不存在时,直线l为，此时为椭圆的短轴上的两顶点，此时是以点为顶点的等腰三角形；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，当直线与椭圆C有两个不同的交点时，该方程，整理得，设，则，所以，设的中点为点D，则，即，则,当时，斜率不存在，此时的斜率k为0，不满足，故，由题意可知,即，解得或，由于，故或不适合题意，综合以上，存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形.20.（1）当时，，，所以切线方程为.（2）依题意，，，当时，，解得,则在区间递减；在区间递增.当时，解得或,当时，在区间递增；在区间递减.当时，在上递增.当时，在区间递增；区间递减.（3）当时，，由（2）可知，在递减，在递增，所以，所以对任意的恒成立.21.（1）若，则，，，，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.故.（2）设，若，则，因互质，故为3的倍数；若，则即，因互质，故为3的倍数，依次类推，有均为3的倍数.当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.当时，若，则，故为3的倍数；若，则，故为3的倍数，设当时，是3的倍数即为3的倍数，若，则，故为3的倍数；若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，故当时，是3的倍数也成立，由数学归纳法可得是3的倍数成立，综上，的所有元素都是3的倍数.（3）当，则，，，，故的元素个数为5；