初二数学经典题练习及答案

初二数学经典题型练习1.已知：如图，P是正方形ABC咕点，/PAD=ZPDA=15°.求证：△PBB正三角形.证明如下。首先，PA=PDzPAD=/PDA=(180-150)+2=15°,/PAB=9°-15°=75°。在正方形ABCD^外以AD为底边作正三角形ADQ连接PQ则/PDQ=6°+15°=75°,同样/PAQ=75,又AQ=DQ,PA=PD所以△PA箪△PDQ那么/PQA=/PQD=6°+2=3°°,在△PQA中，ZAPQ=18°-3°°-75°=75°=/PAQWPAR于是PQ=AQ=AB显然△PA*△PAB得/PBA=ZPQA=3°,PB=PQ=AB=BC/PBC=9°-3°=6°°,所HAPBC是正三角形。ADBC的延长线交MN于E、2.已知：如图，在四边形ABCD43,ADBC的延长线交MN于E、F.求证：/DEN=/F.证明：连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点，则GN=AD/2;GIN/AD,/GNM=DEM;(1)同理：GM=BC/2;GM//BC,ZGMN=CFN;(2)又AD=BC贝U:GN=GMZGNM=GMN>:/DEM=CFN.3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在^ABC的外侧作正方形ACD序口正方形CBFG点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.证明：分别过E、CF作直线AB的垂线，垂足分别为MQN在梯形MEFN^,WEFRTNF因为P为EF中点，PQ平行于两底

所以PQ为梯形MEFM位线，所以P牟(M&NF)/2又因为，角0CB+角OBC=90°=角NBF+角CBO所以角OCB=1NBF而角C0B=角Rt=角BNFCB=BF所以△OCE^r等于^NBF△ME心等于^OAC(同理)所以EM=AQ0B=NF所以PQ=AB/2.4、设P是平行四边形ABCg部的一点，且/PBA=/PDA求证：/PAB=/PCB过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E;连接BE因为DP2a3a个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水,龙一高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。DAD两BCB由题意得:解之得:因为DP2a3a个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水,龙一高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。DAD两BCB由题意得:解之得:——t2x8x5v经检验得:8t5v、…x一是原方程解。8t5v.•・小口径水管速度为 一，大口径水管速度为8t5v2t7.如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M(—2,-1),且P(-1,—2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QBB直于y轴，垂足分别是A、B.(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MC±运动时，直线MQh是否存在这样的点Q使彳OBQ<△OAP0积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP0皈邻边的平彳T四边形OPCQ求平行四边形OPCQO长的最小值.图1 图1 1)坐标代入得k=—,所以正比例函数解2OPC圆长的最小值就只图解：(1)设正比例函数解析式为 ykx,将点M(2,，一一1析式为y=x2TOC\o"1-5"\h\z _一一”一’ 2同样可得，反比例函数解析式为 y=-x(2)当点Q在直线DO上运动时，一一一，，- 1设点Q的坐标为Q(m,—m),2一- 1 1•.1 1 2于SAOBQ= — OB?BQ 一创一m m= - m ,2 22 4而Saoap=21(-1)?(2)=1,~一，,12 一所以有，-m=1,解得m24所以点Q的坐标为Q1(2,1"DQ2(-2,-1)(3)因为四边形OPCQb平行四边形，所以OP=CQOQ=PC而点P(1, 2)是定点，所以OP勺长也是定长，所以要求平行四边形需求OQ勺最小值. 2因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q的坐标为Q(n,2),n由勾股定理可得OQ2=n2+A=(n-2)2+4,nn22 2 2所以当(n--)=0即n--二0时，OQ有最小值4,n n又因为O徽正值，所以OQWOQ2同时取得最小值,

所以OQ有最小值2.由勾股定理得O2J5,所以平行四边形OPCQO长的最小值是8.如图，P是边长为1的正方形ABCD寸角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB(1)求证：①PE=PD;②PELPQ(2)设AP=x,4PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解：(1)证法一：①•••四边形ABCD1正方形，AC为对角线，BC=DCZBCPZDCP=5..PC=PCAPB(C3△PDC(SA9.PB=PD, /PB(=/PDC又「PB=PE,PE=PD②(i)当点E在线段BC上(E与RC不重合)时,.PB=PE/PB=/PEB••/PEB/PDC••/PEB/PEG/PDC/PEG180,••/DPE360-(/BCD/PDC/PEC=90,••PELPD )(ii)当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时,PELPD(iii)当点E在BC的延长线上时，如图PELPD②②/1=/2./PEC/PDC/1=/2,/DPE/DCE90,PELPD综合(i)(ii)(iii),PEXPD(2)①过点P作PF，BC垂足为F,则BF=FEAPx,AC=T2,•••PGJ2-x,PF=FC=/(隹x)1BF=FE=1-FC=1-(1_2x)=_2x.2 2&pbe=BF・PF=_2x(12二x)22——x.2-2—x(0<x<<2).2——xTOC\o"1-5"\h\z1/ 2\2——x-(x-—)2 2a-<0,2当x上2时，y最大值—.2 4(1)证法二：①过点P作GF//AB分另1J交ADBC于GF.如图所示(1)证法二：①•••四边形ABC比正方形，四边形ABF函四边形GFC嘟是矩形，△AGPF口△PFCtB是等腰直角三角形.GD=F=FP,GP=A=BF,/PGD/PFE=90又•••PB=P^BF=FE,GP=FE,AEFfP^△PGD(SA9.PE=PD

/1+Z3=/2+/3=90°/DPE90•••PELPD(2)①..AP=x,_2

BF=PG_2x

2&pbe=_2

BF=PG_2x

2&pbe=BF-PF=_2x(112-x21<0,22,2xx22x2(0PF=1-_2x.22x 12 2——x) -x ——x.2 2 2<x<w'2)1 2、2-(x—)2 2当x三2■时，y最大值29、如图，直线y=%x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A(1,6),B(a,3)两点.(1)求k1、k2的值.(2)直接写出k1x+b-k2x>0时x的取值范围;(3)如图，等腰梯形OBC珅，BC//ODOB=CD。皿在x轴上，过点C作C吐ODT点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当才^形OBCD勺面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.1 k 10、如图12,已