巧用化归与转化的数学思想解题

巧用化归与转化的数学思想解题广西上思县上思中学 王春雷关键词：化归与转化，等价转化，数形结合，函数与方程内容摘要：化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程，是知识转化为能力的桥梁。而数学科的考试，是按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力。所以，历年高考均十分重视考查数学思想方法，把对数学思想方法的考查融合在对“三基”的检测和能力的考核之中。化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。数学中的转化比比皆是，如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关数学问题，是提高思维能力的有效保证，那么，我们应该如何在平时解题过程中注意培养化归与转化意识，以进一步提高解题能力呢？下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。一、 利用等价转化的思想来实现转化在数学中，存在许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程。1、（2022年全国高考）已知c0。设P:函数ycx在R上单调递减。Q:不等式x|x2c|1的解集为R。如P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。分析：“P和Q有且仅有一个正确”等价于“P正确且Q不正确”或“P不正确且Q正确”，所以应先求出P和Q分别正确时的解集，再用集合间的关系来运算。解： P:函数ycx在R上单调递减0c1:不等式x|x2c|1的解集为R函数yf(x)x|x2c|在R上恒大于1。2x2c,(x2c)x|x2c| 2c,(x2c)函数yf(x)x|x2c|在R上的最小值为2c。不等式x|x2c|1的解集为R2c1c12。如果P正确且Q不正确，则0c12如果P不正确且Q正确，则c1所以c的取值范围为(0,12][1,)。二、利用反证法的思想来实现转化如果一个命题从正面解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手来解决。如：证明命题的唯一性、无理性，或所给的命题以否定形式出现（如：不存在、不相交等），并伴有“至少”“不都”“都不”“没有”等指示性词语时，均可考虑用反证法的思想来实现转化。反证法是数学解题中逆向思维的直接体现。例2、已知下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20， x22ax2a0中，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。分析：此题若采用正面讨论，则必须分成“有且只有一个方程有实根”，“有两个方程有实根”和“三个方程全部有实根”三种不同情况来讨论，求解过程将会非常复杂。所以，应采用补集和反证法的思想来求。24(34a)0解：若方程没有一个有实根，则有(a1)24a204a28a0解之得：3a123满足三个方程至少有一个方程有实根的a的解集是{a|a1，或a}。2三、用数形结合的思想来实现转化数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想，其实质就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，使问题容易得到解决。例3、如果实数x,y满足(x2)2y23，那么y的最大值是（）x133D.A.B.C.3232分析：由于方程(x2)2y23表示的曲线以A(2,0)为圆心，以为半径的圆（如3右图所示），满足方程的x,y是圆上的点P(x,y)；而yy是坐标原点(0,0)与圆上各点x连线的斜率，所以题目可转化为求原点(0,0)与圆上各点连线P的斜率的最大值。结合OAx图像，易知直线ykx与圆(x2)2y23相切的时候，直线OP的斜率k就是所求斜率的最大值。解： |AP|3,|OP|2POA3tanPOA3即所求xy的最大值是3，故选D。四、利用函数与方程的思想来实现转化函数与方程的思想是求数量关系的主要思想方法。一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程式（组）（包括不等式（组）），则一般可使问题得到解答。例4、已知平行四边形ABCD中，点A,C的坐标分别为（1,3),(3,2)，点D在椭圆(x4)2(y5)21上移动，9 4求点B的轨迹方程。分析：因为平行四边形的对边平行且相等，所以可以将本题转化为相等向量的性质来求解。解：设B,D的坐标分别为(x,y),(a,b)CD(a3,b2),BA(1x,3y)在平行四边形ABCD中，CDBA(a3,b2)(1x,3y)a4x,b5y点D在椭圆上，把D点坐标(4x,5y)代入椭圆方程中，即得点B的轨迹方程：x2y2194五、利用换元法的思想来实现转化对结构较为复杂，量与量之间的关系不甚明了的命题，通过适当的引入新变量（换元），往往可以简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。常用的换元法有代数代换、三角代换、整体代换等。在应用换元法时要特别注意新变量的取值范围，即代换的等价性。例5、（2022年高考广西理科）解方程：4x|12x|11分析：若令t2x，（t0），则原方程可转化为求含绝对值的二次方程的解。解：令t2x，（t0），原方程可化为：t2|1t|11①当t1（即x0）时，方程可化为：t2t111t2t120解之得：t3，或t4（不舍题意，舍去）2x3xlog23②当0t1（即x0）时，方程可化为：t21t11t2t100解之得：t122411或t122410（均不舍题意，舍去）所以，原方程的解为 xlog23六、利用特殊化的思想来实现转化数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。解题时，将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。对一些较为抽象或一般规律又无显露的数学问题，尤其是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化，一般问题特殊化的方法来验证，而无需作费时费力的严格推证，从而避免“小题大做”，以降低难度，尽快确定正确答案。例 6、（2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P、P、P。若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）(A)P

3=P

2>P

1

(B)P

3>P

=P(C)P

3>P

2>P

(D)P

3=P

2=P1分析：由射影面积公式（ S射＝S斜cos）可知：S射与斜面和水平面所成角有关，而与斜面内图形形状及图形放置无关。所以可以抓住“所成角都是”及“射影面积（民房面积）不变”，取特值0，就将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房的面积全部相同，从而得解。解：令0，即可知选D。当然，除了上述常用方法外，数学解题中还存在其它的转化方法，如：在求空间距离问题时，可利用等积法（点线距离常用等面积法，点面距离常用等体积法）将它转化为解三角形的问题；在求空间角（异面直线所成的角或二面角的平面角）时，可通过平移变换、作辅助线等方法转化为同一个平面或三角形中；而求函数