称为绝对稳定域课件

9.4单步法的收敛性与稳定性

9.4.1收敛性与相容性

数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分方程（1.1）转化为差分方程，如单步法（2.10），即（4.1）它在处的解为，而初值问题（1.1），（1.2）在处的精确解为，记称为整体截断误差.收敛性就是讨论当固定且时

的问题.19.4单步法的收敛性与稳定性

定义3若一种数值方法（如单步法（4.1））对于固定的,当时有，其中是（1.1），（1.2）的准确解，则称该方法是收敛的.显然数值方法收敛是指，对单步法（4.1）有下述收敛性定理：

定理1假设单步法（4.1）具有阶精度，且增量函数关于满足利普希茨条件（4.2）又设初值是准确的，即，则其整体截断误差

（4.3）2定义3若一种数值方法（如单步法（4.1））对于固

证明设以表示取用公式（4.1）求得的结果，即（4.4）则为局部截断误差，由于所给方法具有阶精度，按定义2，存在定数，使又由式（4.4）与（4.1），得利用假设条件（4.2），有3证明设以表示取用从而有即对整体截断误差成立下列递推关系式（4.5）反复递推，可得（4.6）4从而有即对整体截断误差成立下再注意到当时最终得下列估计式（4.7）由此可以断定，如果初值是准确的，即，则（4.3）式成立.依据这一定理，判断单步法（4.1）的收敛性，归结为验证增量函数能否满足利普希茨条件（4.2）.对于欧拉方法，由于其增量函数就是，故当关于满足利普希茨条件时它是收敛的.5再注意到当时最终得下列估计式再考察改进的欧拉方法，其增量函数由（3.2）式给出，这时有假设关于满足利普希茨条件，记利普希茨常数为，则由上式推得设限定为定数），上式表明关于的利普希茨6再考察改进的欧拉方法，其增量函数由（3.2）式给出，常数因此改进的欧拉方法也是收敛的.类似地，不难验证其他龙格-库塔方法的收敛性.定理1表明时单步法收敛，并且当是初值问题（1.1），（1.2）的解，（4.1）具有阶精度时，则有展开式7常数因此改进的欧拉方法也是收敛的.类似地，不难验证所以的充要条件是，而，于是可给出如下定义：

定义4若单步法（4.1）的增量函数满足则称单步法（4.1）与初值问题（1.1），（1.2）相容.以上讨论表明阶方法（4.1）当时与(1.1)，(1.2)相容，反之相容方法至少是1阶的.于是由定理1可知方法（4.1）收敛的充分必要条件是此方法是相容的.8所以的充要条件是9.4.2绝对稳定性与绝对稳定域

定义5若一种数值方法在节点值上大小为的扰动，于以后各节点值上产生的偏差均不超过，则称该方法是稳定的.以欧拉法为例考察计算稳定性.

例4考察初值问题其准确解是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如图9-3所示.用欧拉法解方程得99.4.2绝对稳定性与绝对稳定域若取，则欧拉公式的具体形式为计算结果列于表9-4的第2列.可以看到，欧拉方法的解（图9-3中用×号标出）在准确值的上下波动，计算过程明显地不稳定.但若取则计算过程稳定.图9-310若取，则欧拉公式的计算结果列于表9-4的第再考察后退的欧拉方法，取时计算公式为计算结果列于表9-4的第3列（图9-3中标以·号），这时计算过程是稳定的.11再考察后退的欧拉方法，取时计算公式为计算例题表明稳定性不但与方法有关，也与步长的大小有关，当然也与方程中的有关.为了只考察数值方法本身.通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性，模型方程为（4.8）其中为复数，对一般方程可以通过局部线性化化为这种形式，例如在的邻域，可展开为略去高阶项，再做变换即可得到的形式.对于个方程的方程组，可线性化为，这里12例题表明稳定性不但与方法有关，也与步长的大小为的雅可比矩阵.若有个特征值，其中可能是复数，所以，为了使模型方程结果能推广到方程组，方程（4.8）中为复数.为保证微分方程本身的稳定性，还应假定.先研究欧拉方法的稳定性.模型方程的欧拉公式为（4.9）设在节点值上有一扰动值，它的传播使节点值产生大小为的扰动值，假设用按欧拉公13为的雅可比矩阵.式得出的计算过程不再有新的误差，则扰动值满足可见扰动值满足原来的差分方程（4.9）.如果差分方程的解是不增长的，即有则它就是稳定的.显然，为要保证差分方程（4.9）的解是不增长的，只要选取充分小，使（4.10）在的复平面上，这是以为圆心，1为半径的单位圆域.称为欧拉法的绝对稳定域，一般情形可由下面定义.14式得出的计算过程不再有新的误

定义6单步法（4.1）用于解模型方程（4.8），若得到的解，满足，则称方法（4.1）是绝对稳定的.在的平面上，使的变量围成的区域，称为绝对稳定域，它与实轴的交称为绝对稳定区间.对欧拉法，其绝对稳定域已由（4.10）给出，绝对稳定区间为.在例5中，即为绝对稳定区间.例4中取故它是不稳定的，当取时它是稳定的.15定义6单步法（4.1）用于解模型方程（4.8），对二阶R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故绝对稳定域由得到，于是可得绝对稳定区间为，即.类似可得三阶及四阶的R-K方法的分别为16对二阶R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故绝由可得到相应的绝对稳定域.当为实数时则得绝对稳定区间.分别为三阶显式R-K方法：即四阶显式R-K方法：即从以上讨论可知显式的R-K方法的绝对稳定域均为有限域，都对步长有限制.如果不在所给的绝对稳定区间内，方法就不稳定.例5分别取及用经典的四阶R-K方法（3.13）计算.17由可得到相应的绝对稳定域.当

解本例分别为及，前者在绝对稳定区间内，后者则不在，用四阶R-K方法计算其误差见下表：以上结果看到，如果步长不满足绝对稳定条件，误差增长很快.对隐式单步法，可以同样讨论方法的绝对稳定性，例如对后退欧拉法，用它解模型方程可得18解本例分别为及故由可得绝对稳定域为，它是以为圆心，1为半径的单位圆外部，故绝对稳定区间为.当时，则，即对任何步长均为稳定的.对隐式梯形法，它用于解模型方程（4.8）得19故由可得绝对稳定域为故对有，故绝对稳定域为的左半平面，绝对稳定区间为，即时梯形法均是稳定的.20故对有9.5线性多步法在逐步推进的求解过程中，计算之前事实上已经求出了一系列的近似值，如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望会获得较高的精度.这就是构造所谓线性多步法的基本思想.构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程（1.1）两端积分后利用插值求积公式得到.本节主要介绍基于泰勒展开的构造方法.219.5线性多步法在逐步推进9.5.1线性多步法的一般公式如果计算时，除用的值，还用到的值，则称此方法为线性多步法.一般的线性多步法公式可表示为（5.1）其中为的近似，为常数,及不全为零，则称（5.1）为线性步法.计算时需先给出前面个近似值,再由（5.1）逐次求出.229.5.1线性多步法的一般公式如果，称（5.1）为显式步法，这时可直接由（5.1）算出；如果，则（5.1）称为隐式步法，求解时与梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出.（5.1）中系数及可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：

定义7设是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，线性多步法（5.1）在上的局部截断误差为（5.2）若，则称方法（5.1）是阶的，则23如果，称（5.1）为显式步法，这时称方法（5.1）与方程（1.1）是相容的.由定义7，对在处做泰勒展开，由于代入（5.2）得（5.3）24称方法（5.1）与方程（1.1）是相容的.由定义7，其中（5.4）若在公式（5.1）中选择系数及，使它满足25其中（5.4）若在公式（5.1）中选择系数及由定义可知此时所构造的多步法是阶的，且（5.5）称右端第一项为局部截断误差主项，称为误差常数.根据相容性定义，,即，由（5.4）得（5.6）故方法（5.1）与微分方程（1.1）相容的充分必要条件是（5.6）成立.26由定义可知此时所构造的多步法是阶的，且（5.5）称右端当时，若，则由（5.6）可求得此时公式（5.1）为即为欧拉法.从（5.4）可求得，故方法为1阶精度，且局部截断误差为这和第2节给出的定义及结果是一致的.27当时，若，则由（5.6）可求得对,若，此时方法为隐式公式，为了确定系数，可由解得于是得到公式即为梯形法.由（5.4）可求得,故，所以梯形法是二阶方法，其局部截断误差主项是,这与第2节中的讨论也是一致的.对的多步法公式都可利用（5.4）确定系数，并由（5.5）给出局部截断误差.28对,若，此时方法为隐式公9.5.2阿当姆斯显式与隐式公式考虑形如（5.7）的步法，称为阿当姆斯（Adams)方法.为显式方法，为隐式方法，通常称为阿当姆斯显式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adams-Monlton公式.这类公式可直接由方程（1.1）两端积分（从到积分）求得.下面可利用(5.4)由推出，对比(5.7)299.5.2阿当姆斯显式与隐式公式与（5.1）可知此时系数.显然成立，下面只需确定系数，故可令，则可求得.（若，则令来求得）.以为例，由，根据（5.4）得30与（5.1）可知此时系数若，则由前三个方程解得得到的阿当姆斯显式公式是（5.8）由（5.4）求得，所以（5.8）是三阶方法，局部31若，则由前三个方程解得得到的截断误差是若，则可解得于是得的阿当姆斯隐式公式为（5.9）它是四阶方法，局部截断误差是（5.10）32截断误差是若，则可解得于是得用类似的方法可求得阿当姆斯显式方法和隐式方法的公式，表9-5及表9-6分别列出了时的阿当姆斯显式公式与阿当姆斯隐式公式，其中为步数，为方法的阶，为误差常数.33用类似的方法可求得阿当姆斯显式方法和隐式方法的333434

例6用四阶阿当姆斯显式和隐式方法解初值问题取步长.

解本题.从四阶阿当姆斯显式公式得到对于四阶阿当姆斯隐式公式得到35例6用四阶阿当姆斯显式和隐式方法解初值问题取步由此可直接解出而不用迭代，得到计算结果见表9-7，其中显式方法中的及隐式方法中的均用准确解计算得到，对一般方程，可用四阶R-K方法计算初始近似.36由此可直接解出而不用迭代，得到计算结果见表9-7，从以上例子看到同阶的阿当姆斯方法，隐式方法要比显式方法误差小，这可以从两种方法的局部截断误差主项的系数大小得到解释，这里分别为及.37从以上例子看到同阶的阿当姆斯方法，隐式方法要比379.4单步法的收敛性与稳定性

9.4.1收敛性与相容性

数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分方程（1.1）转化为差分方程，如单步法（2.10），即（4.1）它在处的解为，而初值问题（1.1），（1.2）在处的精确解为，记称为整体截断误差.收敛性就是讨论当固定且时

的问题.389.4单步法的收敛性与稳定性

定义3若一种数值方法（如单步法（4.1））对于固定的,当时有，其中是（1.1），（1.2）的准确解，则称该方法是收敛的.显然数值方法收敛是指，对单步法（4.1）有下述收敛性定理：

定理1假设单步法（4.1）具有阶精度，且增量函数关于满足利普希茨条件（4.2）又设初值是准确的，即，则其整体截断误差

（4.3）39定义3若一种数值方法（如单步法（4.1））对于固

证明设以表示取用公式（4.1）求得的结果，即（4.4）则为局部截断误差，由于所给方法具有阶精度，按定义2，存在定数，使又由式（4.4）与（4.1），得利用假设条件（4.2），有40证明设以表示取用从而有即对整体截断误差成立下列递推关系式（4.5）反复递推，可得（4.6）41从而有即对整体截断误差成立下再注意到当时最终得下列估计式（4.7）由此可以断定，如果初值是准确的，即，则（4.3）式成立.依据这一定理，判断单步法（4.1）的收敛性，归结为验证增量函数能否满足利普希茨条件（4.2）.对于欧拉方法，由于其增量函数就是，故当关于满足利普希茨条件时它是收敛的.42再注意到当时最终得下列估计式再考察改进的欧拉方法，其增量函数由（3.2）式给出，这时有假设关于满足利普希茨条件，记利普希茨常数为，则由上式推得设限定为定数），上式表明关于的利普希茨43再考察改进的欧拉方法，其增量函数由（3.2）式给出，常数因此改进的欧拉方法也是收敛的.类似地，不难验证其他龙格-库塔方法的收敛性.定理1表明时单步法收敛，并且当是初值问题（1.1），（1.2）的解，（4.1）具有阶精度时，则有展开式44常数因此改进的欧拉方法也是收敛的.类似地，不难验证所以的充要条件是，而，于是可给出如下定义：

定义4若单步法（4.1）的增量函数满足则称单步法（4.1）与初值问题（1.1），（1.2）相容.以上讨论表明阶方法（4.1）当时与(1.1)，(1.2)相容，反之相容方法至少是1阶的.于是由定理1可知方法（4.1）收敛的充分必要条件是此方法是相容的.45所以的充要条件是9.4.2绝对稳定性与绝对稳定域

定义5若一种数值方法在节点值上大小为的扰动，于以后各节点值上产生的偏差均不超过，则称该方法是稳定的.以欧拉法为例考察计算稳定性.

例4考察初值问题其准确解是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如图9-3所示.用欧拉法解方程得469.4.2绝对稳定性与绝对稳定域若取，则欧拉公式的具体形式为计算结果列于表9-4的第2列.可以看到，欧拉方法的解（图9-3中用×号标出）在准确值的上下波动，计算过程明显地不稳定.但若取则计算过程稳定.图9-347若取，则欧拉公式的计算结果列于表9-4的第再考察后退的欧拉方法，取时计算公式为计算结果列于表9-4的第3列（图9-3中标以·号），这时计算过程是稳定的.48再考察后退的欧拉方法，取时计算公式为计算例题表明稳定性不但与方法有关，也与步长的大小有关，当然也与方程中的有关.为了只考察数值方法本身.通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性，模型方程为（4.8）其中为复数，对一般方程可以通过局部线性化化为这种形式，例如在的邻域，可展开为略去高阶项，再做变换即可得到的形式.对于个方程的方程组，可线性化为，这里49例题表明稳定性不但与方法有关，也与步长的大小为的雅可比矩阵.若有个特征值，其中可能是复数，所以，为了使模型方程结果能推广到方程组，方程（4.8）中为复数.为保证微分方程本身的稳定性，还应假定.先研究欧拉方法的稳定性.模型方程的欧拉公式为（4.9）设在节点值上有一扰动值，它的传播使节点值产生大小为的扰动值，假设用按欧拉公50为的雅可比矩阵.式得出的计算过程不再有新的误差，则扰动值满足可见扰动值满足原来的差分方程（4.9）.如果差分方程的解是不增长的，即有则它就是稳定的.显然，为要保证差分方程（4.9）的解是不增长的，只要选取充分小，使（4.10）在的复平面上，这是以为圆心，1为半径的单位圆域.称为欧拉法的绝对稳定域，一般情形可由下面定义.51式得出的计算过程不再有新的误

定义6单步法（4.1）用于解模型方程（4.8），若得到的解，满足，则称方法（4.1）是绝对稳定的.在的平面上，使的变量围成的区域，称为绝对稳定域，它与实轴的交称为绝对稳定区间.对欧拉法，其绝对稳定域已由（4.10）给出，绝对稳定区间为.在例5中，即为绝对稳定区间.例4中取故它是不稳定的，当取时它是稳定的.52定义6单步法（4.1）用于解模型方程（4.8），对二阶R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故绝对稳定域由得到，于是可得绝对稳定区间为，即.类似可得三阶及四阶的R-K方法的分别为53对二阶R-K方法，解模型方程（4.1）可得到故绝由可得到相应的绝对稳定域.当为实数时则得绝对稳定区间.分别为三阶显式R-K方法：即四阶显式R-K方法：即从以上讨论可知显式的R-K方法的绝对稳定域均为有限域，都对步长有限制.如果不在所给的绝对稳定区间内，方法就不稳定.例5分别取及用经典的四阶R-K方法（3.13）计算.54由可得到相应的绝对稳定域.当

解本例分别为及，前者在绝对稳定区间内，后者则不在，用四阶R-K方法计算其误差见下表：以上结果看到，如果步长不满足绝对稳定条件，误差增长很快.对隐式单步法，可以同样讨论方法的绝对稳定性，例如对后退欧拉法，用它解模型方程可得55解本例分别为及故由可得绝对稳定域为，它是以为圆心，1为半径的单位圆外部，故绝对稳定区间为.当时，则，即对任何步长均为稳定的.对隐式梯形法，它用于解模型方程（4.8）得56故由可得绝对稳定域为故对有，故绝对稳定域为的左半平面，绝对稳定区间为，即时梯形法均是稳定的.57故对有9.5线性多步法在逐步推进的求解过程中，计算之前事实上已经求出了一系列的近似值，如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望会获得较高的精度.这就是构造所谓线性多步法的基本思想.构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程（1.1）两端积分后利用插值求积公式得到.本节主要介绍基于泰勒展开的构造方法.589.5线性多步法在逐步推进9.5.1线性多步法的一般公式如果计算时，除用的值，还用到的值，则称此方法为线性多步法.一般的线性多步法公式可表示为（5.1）其中为的近似，为常数,及不全为零，则称（5.1）为线性步法.计算时需先给出前面个近似值,再由（5.1）逐次求出.599.5.1线性多步法的一般公式如果，称（5.1）为显式步法，这时可直接由（5.1）算出；如果，则（5.1）称为隐式步法，求解时与梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出.（5.1）中系数及可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：

定义7设是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，线性多步法（5.1）在上的局部截断误差为（5.2）若，则称方法（5.1）是阶的，则60如果，称（5.1）为显式步法，这时称方法（5.1）与方程（1.1）是相容的.由定义7，对在处做泰勒展开，由于代入（5.2）得（5.3）61称方法（5.1）与方程（1.1）是相容的.由定义7，其中（5.4）若在公式（5.1）中选择系数及，使它满足62其中（5.4）若在公式（5.1）中选择系数及由定义可知此时所构造的多步法是阶的，且（5.5）称右端第一项为局部截断误差主项，称为误差常数.根据相容性定义，,即，由（5.4）得（5.6）故方法（5.1）与微分方程（1.1）相容的充分必要条件是（5.6）成立.63由定义可知此时所构造的多步法是阶的，且（5.5）称右端当时，若，则由（5.6）可求得此时公式（5.1）为即为欧拉法.从（5.4）可求得，故方法为1阶精度，且局部截断误差为这和第2节给出的定义及结果是一致的.64当时，若，则由（5.6）可求得对,若，此时方法为隐式公式，为了确定系数，可由解得于是得到公式即为梯形法.由（5.4）可求得,故，所以梯形法是二阶方法，其局部截断误差主项是