空间问题的基本方程课件

第6章空间问题的基本理论与解答目录1第6章目录1目录主要内容§6-1平衡微分方程§6-2几何方程及物理方程§6-3轴对称问题的基本方程§6-4按位移求解空间问题§6-5半空间体受重力及均布压力§6-6半空间体在边界上受法向集中力§6-7按应力求解空间问题2目录主要内容§6-1平衡微分方程2§6.1平衡微分方程在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。3§6.1平衡微分方程在空间问题中，应力、形变和位移§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:(a)(b)4§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面体，§6.1平衡微分方程5§6.1平衡微分方程5§6.1平衡微分方程由x轴向投影的平衡微分方程

,

得

因为

x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。6§6.1平衡微分方程由x轴向投影的平衡微分方程§6.1平衡微分方程由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，，，空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量7§6.1平衡微分方程由3个力矩方程得到3个切应力互等定理§6.1平衡微分方程设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:在上的应力边界条件8§6.1平衡微分方程设在边界上，§6.1平衡微分方程如果边界面是坐标面，则边界条件可以得到简化。例如边界面为正、负x面，则l=±1，m=n=0，应力边界条件简化为：9§6.1平衡微分方程如果边界面是坐标面，则边界条§6.1平衡微分方程如果某一小部分边界上，如S1上，精确的应力边界条件（（d）式）难以满足时，按照圣维南原理，可以用等效的主矢量和等效的主矩的条件来代替。有两种表达方式：（1）在同一小边界面S1上，应力是主矢量和主矩分别等于对应的面力主矢量和主矩（6个等式条件）；（2）在小边界S1附近，切出一小部分的脱离体，列出脱离体的力的平衡条件。10§6.1平衡微分方程如果某一小部分边界上，如S1上，精确的§6.1平衡微分方程思考题在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点A,B的x向正应力分量。11§6.1平衡微分方程思考题在图中，若点o的x向正应§6.2几何方程及物理方程

空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：(a)12§6.2几何方程及物理方程空间问题的几何方§6.2几何方程及物理方程从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。13§6.2几何方程及物理方程从几何方程同样可§6.2几何方程及物理方程--沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。

由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量，为：

(b)--绕x,y,z轴的刚体转动。14§6.2几何方程及物理方程--沿x,y,z向的刚§6.2几何方程及物理方程若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：(c)15§6.2几何方程及物理方程若在§6.2几何方程及物理方程(d)其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变定义为：16§6.2几何方程及物理方程(d)其中由于小变形假定，略去§6.2几何方程及物理方程空间问题的物理方程

(x,y,z).

(e)可表示为两种形式：17§6.2几何方程及物理方程空间问题的物理方程(§6.2几何方程及物理方程⑵应力用应变表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以导出（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。--称为体积模量。18§6.2几何方程及物理方程⑵应力用应变表示，用于按位移求§6.2几何方程及物理方程空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：19§6.2几何方程及物理方程空间问题的应力，§6.2几何方程及物理方程思考题若形变分量为零，试导出对应的位移分量。20§6.2几何方程及物理方程思考题若形变分量§6.3轴对称问题的基本方程

采用柱坐标表示。

如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。

空间轴对称问题

21§6.3轴对称问题的基本方程采用柱坐标§6.3轴对称问题的基本方程对于空间轴对称问题：应力中只有(a)形变中只有位移中只有所有物理量仅为(ρ,z)的函数。22§6.3轴对称问题的基本方程对于空间轴对称问题：应力中只§6.3轴对称问题的基本方程而由得出为。平衡微分方程：23§6.3轴对称问题的基本方程而由得出为§6.3轴对称问题的基本方程

几何方程：其中几何方程为24§6.3轴对称问题的基本方程几何方程：其中几何方程为§6.3轴对称问题的基本方程物理方程：应变用应力表示：(d)25§6.3轴对称问题的基本方程物理方程：应变用应力表示：(d§6.3轴对称问题的基本方程应力用应变表示：其中26§6.3轴对称问题的基本方程应力用应变表示：其中26§6.3轴对称问题的基本方程边界条件：

一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。27§6.3轴对称问题的基本方程边界条件：在柱§6.3轴对称问题的基本方程思考题试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。28§6.3轴对称问题的基本方程思考题试由空间轴对§6.4按位移求解空间问题1.取u,v,w为基本未知函数。2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。

在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：29§6.4按位移求解空间问题1.取u,§6.4按位移求解空间问题其中体积应变3.将式(a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：30§6.4按位移求解空间问题其中体积应变§6.4按位移求解空间问题其中拉普拉斯算子31§6.4按位移求解空间问题其中拉普拉斯算子31§6.4按位移求解空间问题4.将式代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：位移边界条件仍为:32§6.4按位移求解空间问题4.将式代入应力边界条§6.4按位移求解空间问题（2）上的应力边界条件(c)；（3）上的位移边界条件(d)。这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b)；归结：按位移求解空间问题，位移必须满足：

33§6.4按位移求解空间问题（2）上的应力边界条件(c§6.4按位移求解空间问题在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。34§6.4按位移求解空间问题在空间问题中，按位移求解§6.4按位移求解空间问题按位移求解空间轴对称问题:在柱坐标中，可以相似地导出：位移

应满足：

（1）V内的平衡微分方程，35§6.4按位移求解空间问题按位移求解空间轴对称问题§6.4按位移求解空间问题轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变（2）上的应力边界条件。

（3）上的位移边界条件。36§6.4按位移求解空间问题轴对称的拉普拉§6.4按位移求解空间问题1、试导出空间问题中上的应力边界条件（式（c））。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程（书中式（8-4）），并将上的应力边界条件用位移来表示。思考题37§6.4按位移求解空间问题1、试导出空间问题中上的应力边§6.5半空间体受重力及均布压力设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。38§6.5半空间体受重力及均布压力设有半空间§6.5半空间体受重力及均布压力采用按位移求解：

考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。39§6.5半空间体受重力及均布压力采用按位移§6.5半空间体受重力及均布压力（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式自然满足，第三式成为常微分方程，积分两次,得40§6.5半空间体受重力及均布压力（1）将位移(a)代入平衡§6.5半空间体受重力及均布压力相应的应力为41§6.5半空间体受重力及均布压力相应的应力为41§6.5半空间体受重力及均布压力（2）在z=0的负z面，应力边界条件为由式(d)求出A，得应力解为42§6.5半空间体受重力及均布压力（2）在z=0的负z面，应§6.5半空间体受重力及均布压力位移解为其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由可以确定B。若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定B；43§6.5半空间体受重力及均布压力位移解为其中B为z向刚体平§6.5半空间体受重力及均布压力侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即44§6.5半空间体受重力及均布压力侧面压力与§6.5半空间体受重力及均布压力当时，侧向变形最大，侧向压力也最大,说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。讨论：45§6.5半空间体受重力及均布压力讨论：45§6.5半空间体受重力及均布压力思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位移求解？46§6.5半空间体受重力及均布压力思考题1、如果图中的问题改§6.6半空间体在边界上受法向集中力本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，位移而和应满足:

设有半空间体,在o点受有法向集中力F。47§6.6半空间体在边界上受法向集中力本题为空间轴对称问题。§6.6半空间体在边界上受法向集中力（1）平衡微分方程（书中（8-4））其中48§6.6半空间体在边界上受法向集中力（1）平衡微分方程（书§6.6半空间体在边界上受法向集中力（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：49§6.6半空间体在边界上受法向集中力（2）在z=0的边§6.6半空间体在边界上受法向集中力布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。50§6.6半空间体在边界上受法向集中力布西内§6.6半空间体在边界上受法向集中力其中51§6.6半空间体在边界上受法向集中力其中51（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当§6.6半空间体在边界上受法向集中力应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。

边界面上任一点的沉陷：52（2）水平截面上的应力与弹性常§6.6半空间体在边界上受法向集中力若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到书上公式。53§6.6半空间体在边界上受法向集中力若单位§6.7按应力求解空间问题按应力求解空间问题的方法：形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取σx…

τyz…为基本未知函数。

54§6.7按应力求解空间问题按应力求解空§6.7按应力求解空间问题因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题55§6.7按应力求解空间问题因此,位移边§6.7按应力求解空间问题3.在V内导出求应力的方程

:从几何方程消去位移，导出6个相容方程：（2）相容方程（6个）:（1）平衡微分方程（3个）。56§6.7按应力求解空间问题3.在V内导出求应力的方程:§6.7按应力求解空间问题再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12））。4.假设全部为应力边界条件，在上，应满足书中式（7-5）。57§6.7按应力求解空间问题再代入物理方程，§6.7按应力求解空间问题（1）V内的3个平衡微分方程；其中：(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为,应力分量应满足：（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的3个应力边界条件（假设全部为应力边界条件）；（2）V内的6个相容方程；58§6.7按应力求解空间问题（1）V内的3个平衡微分方程；其§6.7按应力求解空间问题（2）形变满足相容方程,对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程,对应的位移不存在,物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件,导出形变和位移之间的几何方程,导出相容方程。对于相容方程说明如下：所以相容方程是位移的连续性条件。59§6.7按应力求解空间问题（2）形变满足相容方程,§6.7按应力求解空间问题（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见有关书籍。例如：（4）相容方程必须为6个。相容方程和平衡微分方程的数目大于未知函数的数目，是由于微分方程提高阶数所需要的。60§6.7按应力求解空间问题（3）相容方程的导出及对(2)的§6.7按应力求解空间问题式是由方程提高阶数得出的，但式增加的解不是原式的解。几何方程中，形变为0阶导数；但在相容方程中形变以2阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。61§6.7按应力求解空间问题式是由方程§6.7按应力求解空间问题在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。62§6.7按应力求解空间问题在按应力求解空间问题中，第六章例题例题1例题2例题3例题463第六章例题例题1例题2例题3例题463例题1设物体的边界面方程为试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力应力边界条件是什么形式？64例题1设物体的边界面方程为试求出边界面的（x,y,z)，其中解：当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦为65（x,y,z)，其中解：当物体的边界面方程为65当面力为法向分布拉力q时，(x,y,z).因此，应力边界条件为代入应力边界条件，得(x,y,z).66当面力为法向分布拉力q时，(x,y,z).因此，应力边界例题2

试求图示空间弹性体中的应力分量。

(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。

(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。67例题2试求图示空间弹性体中的应力分量。(aqqooxxzz68qqooxxzz68解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。对于(a)，有约束条件；对于(b)，有对称条件。69解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的则可解出：而两者的，因此，由物理方程：70则可解出：而两者的，因此，由物理方程：70例题３

图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。xyobbaaz图7-5P71例题３xyobbaaz图7-5P71解：本题是空间问题，z=0的表面是小边界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；72解：本题是空间问题，z=0的表面是小边而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括6个条件。对于图示问题这6个积分的边界条件是：73而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主7474例题4

平面应力解答的近似性－－试从空间问题按应力求解的方法，来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论。75例题475解：（1）对于平面应变问题，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的条件下，由于任一横截面（z面）均为对称面，可以推论出，76解：76从式可以得出，在式中，表示等式左边的物理量仅为x,y的函数。77从式可以得出，77将式代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式代入空间问题的相容方程（书中式（8-10）、（8-11））得出而其余5式全部自然满足。78将式代入空间因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。（2）对于平面应力问题，在很薄的板中,只受x,y方向的体力、面力和约束，且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面上无任何面力的条件下，由板面的边界条件79因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变及板很薄的条件，假设在弹性体内因此，只有平面应力和存在；并进一步假设这就是平面应力问题。由上两式，还可得出80及板很薄的条件，假设在弹性体内80将式代入空间问题的相容方程（书中式），除了得出式外，还得出81将式代入空间问题的相容方程在一般的情况下，由式得出的显然不能满足相容方程。由此可见，平面应力问题的假设

不能保证所有的相容条件都得到满足。因此，平面应力问题的理论是近似的。82在一般的情况下，由式得出的本章结束83本章结束83第6章空间问题的基本理论与解答目录84第6章目录1目录主要内容§6-1平衡微分方程§6-2几何方程及物理方程§6-3轴对称问题的基本方程§6-4按位移求解空间问题§6-5半空间体受重力及均布压力§6-6半空间体在边界上受法向集中力§6-7按应力求解空间问题85目录主要内容§6-1平衡微分方程2§6.1平衡微分方程在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。86§6.1平衡微分方程在空间问题中，应力、形变和位移§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:(a)(b)87§6.1平衡微分方程取出微小的平行六面体，§6.1平衡微分方程88§6.1平衡微分方程5§6.1平衡微分方程由x轴向投影的平衡微分方程

,

得

因为

x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。89§6.1平衡微分方程由x轴向投影的平衡微分方程§6.1平衡微分方程由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，，，空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量90§6.1平衡微分方程由3个力矩方程得到3个切应力互等定理§6.1平衡微分方程设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:在上的应力边界条件91§6.1平衡微分方程设在边界上，§6.1平衡微分方程如果边界面是坐标面，则边界条件可以得到简化。例如边界面为正、负x面，则l=±1，m=n=0，应力边界条件简化为：92§6.1平衡微分方程如果边界面是坐标面，则边界条§6.1平衡微分方程如果某一小部分边界上，如S1上，精确的应力边界条件（（d）式）难以满足时，按照圣维南原理，可以用等效的主矢量和等效的主矩的条件来代替。有两种表达方式：（1）在同一小边界面S1上，应力是主矢量和主矩分别等于对应的面力主矢量和主矩（6个等式条件）；（2）在小边界S1附近，切出一小部分的脱离体，列出脱离体的力的平衡条件。93§6.1平衡微分方程如果某一小部分边界上，如S1上，精确的§6.1平衡微分方程思考题在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点A,B的x向正应力分量。94§6.1平衡微分方程思考题在图中，若点o的x向正应§6.2几何方程及物理方程

空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：(a)95§6.2几何方程及物理方程空间问题的几何方§6.2几何方程及物理方程从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。96§6.2几何方程及物理方程从几何方程同样可§6.2几何方程及物理方程--沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。

由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量，为：

(b)--绕x,y,z轴的刚体转动。97§6.2几何方程及物理方程--沿x,y,z向的刚§6.2几何方程及物理方程若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：(c)98§6.2几何方程及物理方程若在§6.2几何方程及物理方程(d)其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变定义为：99§6.2几何方程及物理方程(d)其中由于小变形假定，略去§6.2几何方程及物理方程空间问题的物理方程

(x,y,z).

(e)可表示为两种形式：100§6.2几何方程及物理方程空间问题的物理方程(§6.2几何方程及物理方程⑵应力用应变表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以导出（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。--称为体积模量。101§6.2几何方程及物理方程⑵应力用应变表示，用于按位移求§6.2几何方程及物理方程空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：102§6.2几何方程及物理方程空间问题的应力，§6.2几何方程及物理方程思考题若形变分量为零，试导出对应的位移分量。103§6.2几何方程及物理方程思考题若形变分量§6.3轴对称问题的基本方程

采用柱坐标表示。

如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。

空间轴对称问题

104§6.3轴对称问题的基本方程采用柱坐标§6.3轴对称问题的基本方程对于空间轴对称问题：应力中只有(a)形变中只有位移中只有所有物理量仅为(ρ,z)的函数。105§6.3轴对称问题的基本方程对于空间轴对称问题：应力中只§6.3轴对称问题的基本方程而由得出为。平衡微分方程：106§6.3轴对称问题的基本方程而由得出为§6.3轴对称问题的基本方程

几何方程：其中几何方程为107§6.3轴对称问题的基本方程几何方程：其中几何方程为§6.3轴对称问题的基本方程物理方程：应变用应力表示：(d)108§6.3轴对称问题的基本方程物理方程：应变用应力表示：(d§6.3轴对称问题的基本方程应力用应变表示：其中109§6.3轴对称问题的基本方程应力用应变表示：其中26§6.3轴对称问题的基本方程边界条件：

一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。110§6.3轴对称问题的基本方程边界条件：在柱§6.3轴对称问题的基本方程思考题试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。111§6.3轴对称问题的基本方程思考题试由空间轴对§6.4按位移求解空间问题1.取u,v,w为基本未知函数。2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。

在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：112§6.4按位移求解空间问题1.取u,§6.4按位移求解空间问题其中体积应变3.将式(a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：113§6.4按位移求解空间问题其中体积应变§6.4按位移求解空间问题其中拉普拉斯算子114§6.4按位移求解空间问题其中拉普拉斯算子31§6.4按位移求解空间问题4.将式代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：位移边界条件仍为:115§6.4按位移求解空间问题4.将式代入应力边界条§6.4按位移求解空间问题（2）上的应力边界条件(c)；（3）上的位移边界条件(d)。这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b)；归结：按位移求解空间问题，位移必须满足：

116§6.4按位移求解空间问题（2）上的应力边界条件(c§6.4按位移求解空间问题在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。117§6.4按位移求解空间问题在空间问题中，按位移求解§6.4按位移求解空间问题按位移求解空间轴对称问题:在柱坐标中，可以相似地导出：位移

应满足：

（1）V内的平衡微分方程，118§6.4按位移求解空间问题按位移求解空间轴对称问题§6.4按位移求解空间问题轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变（2）上的应力边界条件。

（3）上的位移边界条件。119§6.4按位移求解空间问题轴对称的拉普拉§6.4按位移求解空间问题1、试导出空间问题中上的应力边界条件（式（c））。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程（书中式（8-4）），并将上的应力边界条件用位移来表示。思考题120§6.4按位移求解空间问题1、试导出空间问题中上的应力边§6.5半空间体受重力及均布压力设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。121§6.5半空间体受重力及均布压力设有半空间§6.5半空间体受重力及均布压力采用按位移求解：

考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。122§6.5半空间体受重力及均布压力采用按位移§6.5半空间体受重力及均布压力（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式自然满足，第三式成为常微分方程，积分两次,得123§6.5半空间体受重力及均布压力（1）将位移(a)代入平衡§6.5半空间体受重力及均布压力相应的应力为124§6.5半空间体受重力及均布压力相应的应力为41§6.5半空间体受重力及均布压力（2）在z=0的负z面，应力边界条件为由式(d)求出A，得应力解为125§6.5半空间体受重力及均布压力（2）在z=0的负z面，应§6.5半空间体受重力及均布压力位移解为其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由可以确定B。若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定B；126§6.5半空间体受重力及均布压力位移解为其中B为z向刚体平§6.5半空间体受重力及均布压力侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即127§6.5半空间体受重力及均布压力侧面压力与§6.5半空间体受重力及均布压力当时，侧向变形最大，侧向压力也最大,说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。讨论：128§6.5半空间体受重力及均布压力讨论：45§6.5半空间体受重力及均布压力思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位移求解？129§6.5半空间体受重力及均布压力思考题1、如果图中的问题改§6.6半空间体在边界上受法向集中力本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，位移而和应满足:

设有半空间体,在o点受有法向集中力F。130§6.6半空间体在边界上受法向集中力本题为空间轴对称问题。§6.6半空间体在边界上受法向集中力（1）平衡微分方程（书中（8-4））其中131§6.6半空间体在边界上受法向集中力（1）平衡微分方程（书§6.6半空间体在边界上受法向集中力（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：132§6.6半空间体在边界上受法向集中力（2）在z=0的边§6.6半空间体在边界上受法向集中力布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。133§6.6半空间体在边界上受法向集中力布西内§6.6半空间体在边界上受法向集中力其中134§6.6半空间体在边界上受法向集中力其中51（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当§6.6半空间体在边界上受法向集中力应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。

边界面上任一点的沉陷：135（2）水平截面上的应力与弹性常§6.6半空间体在边界上受法向集中力若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到书上公式。136§6.6半空间体在边界上受法向集中力若单位§6.7按应力求解空间问题按应力求解空间问题的方法：形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取σx…

τyz…为基本未知函数。

137§6.7按应力求解空间问题按应力求解空§6.7按应力求解空间问题因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题138§6.7按应力求解空间问题因此,位移边§6.7按应力求解空间问题3.在V内导出求应力的方程

:从几何方程消去位移，导出6个相容方程：（2）相容方程（6个）:（1）平衡微分方程（3个）。139§6.7按应力求解空间问题3.在V内导出求应力的方程:§6.7按应力求解空间问题再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12））。4.假设全部为应力边界条件，在上，应满足书中式（7-5）。140§6.7按应力求解空间问题再代入物理方程，§6.7按应力求解空间问题（1）V内的3个平衡微分方程；其中：(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为,应力分量应满足：（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的3个应力边界条件（假设全部为应力边界条件）；（2）V内的6个相容方程；141§6.7按应力求解空间问题（1）V内的3个平衡微分方程；其§6.7按应力求解空间问题（2）形变满足相容方程,对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程,对应的位移不存在,物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件,导出形变和位移之间的几何方程,导出相容方程。对于相容方程说明如下：所以相容方程是位移的连续性条件。142§6.7按应力求解空间问题（2）形变满足相容方程,§6.7按应力求解空间问题（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见有关书籍。例如：（4）相容方程必须为6个。相容方程和平衡微分方程的数目大于未知函数的数目，是由于微分方程提高阶数所需要的。143§6.7按应力求解空间问题（3）相容方程的导出及对(2)的§6.7按应力求解空间问题式是由方程提高阶数得出的，但式增加的解不是原式的解。几何方程中，形变为0阶导数；但在相容方程中形变以2阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。144§6.7按应力求解空间问题式是由方程§6.7按应力求解空间问题在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。145§6.7按应力求解空间问题在按应力求解空间问题中，第六章例题例题1例题2例题3例题4146第六章例题例题1例题2例题3例题463例题1设物体的边界面方程为试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力应力边界条件是什么形式？147例题1设物体的边界面方程为试求出边界面的（x,y,z)，其中解：当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦为148（x,y,z)，其中解：当物体的边界面方程为65当面力