2021-2022学年陕西省西安市阎良区关山中学高二年级下册学期期中数学（理）试题【含答案】

2021-2022学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．若复数，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】整理，即可判断z在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为，所以z在复平面内的对应的点位于第四象限，故选：D2．函数从1到2的平均变化率为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】平均变化率为的变化量与变化量的比值，分别计算变化量，代入求值即可.【详解】函数从1到2的平均变化率为．故选：C.3．在中，三条边的长分别为a，b，c，面积为S，则的内切圆半径．类比这个结论，在四面体PABC中，六条棱的长分别为a，b，c，d，e，f，四个面的面积分别为，，，，体积为V，则四面体PABC的内切球半径为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据类比思想，“边”变为“面”，“内切圆半径”变为“内切球半径”，根据四面体的几何性质，即可得到答案.【详解】设四面体的内切球球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，即四面体的体积，所以，故选：D4．已知复数z满足，且，则（

）A． B． C． D．i【答案】C【分析】设，然后由，且，可求出的值，从而可求出结果【详解】设，因为，所以，所以．因为，所以，所以，，故．故选：C5．函数的极大值点为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】求得，令，根据的正负来判断的单调性，即可求得极大值点.【详解】因为，令，解得，，所以当或时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，故的极大值点为，故选：D6．用数学归纳法证明不等式“”时，由时不等式成立，推证时，左边增加的项数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将和分别代入不等式的左边，二者作差，即可求解.【详解】当时，左边，而当时，左边，增加了，共项，故选：C7．已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则当利润最大时，（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】设利润为y，则，将条件代入，可得为关于的函数，利用导函数判断函数的单调性，进而得到取得最大值时的值.【详解】设利润为y，则，所以．则当时，；当时，，故当利润最大时，，故选：B8．已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对化简，再可求出，然后计算，从而可求出其虚部【详解】因为，所以，所以，故其虚部为．故选：D9．观察下列式子：

；；；…根据规律，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意可得，再用裂项相消法求和即可；【详解】解：由规律可得，所以故选：B10．已知函数为奇函数，当时，，函数的导函数为．且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由导数的知识，进而得当时，，并解得，再根据奇函数性质得不等式的解集为.【详解】解：因为，所以．因为，所以．所以，因为，当时，，所以，当时，，由，可得．因为为奇函数，所以当时，由，可得．故不等式的解集为．故选：A11．甲、乙、丙、丁，戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩．老师说：“你们五人中有两位获得一等奖，三位获得二等奖．”甲看了乙、丙的成绩后说：“我还是不知道我的成绩．”丁看了甲、戊的成绩后说：“你们俩的获奖情况一样．”根据以上信息，则（

）A．丁一定获得一等奖 B．丁一定获得二等奖C．乙、丁的获奖情况一定不一样 D．乙、丁的获奖情况可以相同【答案】D【分析】先由题意分类讨论乙、丙两人的成绩，再得出甲、戊的成绩，对选项逐一判断【详解】因为甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩，所以乙、丙的成绩可能是一个一等奖和一个二等奖或者两个都是二等奖．又因为甲、戊的成绩一样，当乙、丙一个一等奖和一个二等奖时，则甲、戊一定是二等奖，丁的获奖情况是一等奖，此时乙、丁的获奖情况可以相同也可以不同；当乙、丙两个都是二等奖时，则甲、戊一定都是一等奖，丁为二等奖，此时乙、丁的获奖情况相同．故选：D12．已知，是函数的两个极值点，且．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先对求导，由，是函数的两个极值点，即为的两个正解，结合韦达定理可得与的式子，再将不等式整理为，将与的式子代入中，可得到，构造函数，将问题转化为，利用导函数求得的最小值，即可求解.【详解】由题，因为，所以，是方程的两个正根，所以，，，因为不等式恒成立，即恒成立，因为，所以．因为，，得，所以，令，则，所以在上单调递减，所以，故，故选：B二、填空题13．设复数z满足，则______．【答案】【分析】由条件解出，再由复数模的概念求解【详解】因为，所以，则．故答案为：14．已知函数，则____________.【答案】【分析】求得函数的导数，得到，结合极限的运算法则，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以，根据极限的运算法则，可得.故答案为：.15．若复数z满足，则的最大值为______．【答案】【分析】设，根据复数模长的几何意义，将题意转化为圆上的点到的距离，进而可得结果.【详解】设，则．因为表示以为圆心，1为半径的圆，所以可理解为圆上的点到的距离，故的最大值为．故答案为：.16．下面四个推理得出的结论正确的所有序号是______．①函数，因为，所以是的极值点.②在平面中，三角形的内角和是，四边形的内角和是，五边形的内角和是，由此得到凸多边形的内角和是.③在中，D为BC的中点，则，类比到四面体ABCD中，G为的重心，则.④在圆中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点．若AC，BC的斜率都存在，则，类比到椭圆中，AB为过中心的一条弦，P为椭圆上异于A，B的任意一点．若PA，PB的斜率都存在，则.【答案】②③【分析】对于①，由恒成立，即可判断；对于②，根据凸多边形的性质判断即可；对于③，重心为中线交点，由向量结合重心的性质即可判断；对于④，由AB为过中心的一条弦，可设，，再设，结合斜率公式即可判断.【详解】对于①，因为恒成立，所以在上单调递增，没有极值，故①不正确；对于②，因为凸多边形边数增加1，内角和增加，所以凸多边形的内角和是，故②正确；对于③，在四面体ABCD中，所以，故③正确；对于④，设，，，则，故④不正确.故答案为：②③三、解答题17．已知函数．(1)若函数在R上单调递增，求实数m的取值范围；(2)若函数，求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）先对函数求导，再由题意可得恒成立，则，从而可求出实数m的取值范围，（2）对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的值域【详解】(1)因为，所以．因为函数在R上单调递增，所以恒成立，则，解得，即实数m的取值范围是．(2)因为，所以．由，得或；由，得．所以函数在上单调递增，在上单调递减．因为，，，所以在上的值域为．18．在数列中，，．(1)求，，的值，并猜想的通项公式；(2)请用数学归纳法证明（1）中的猜想．【答案】(1)，，．猜想．(2)证明见解析【分析】（1）分别令，由已知递推式可求出，，的值，从而可猜想的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤结合已知递推式证明即可【详解】(1)解：∵，，∴，，．猜想．(2)证明：①当时，，猜想显然成立；②假设当时，猜想成立，即，则当时，，即当时，猜想也成立．由①②可知，猜想成立，即．19．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)讨论的极值.【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为(2)答案见解析【分析】（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.【详解】(1)当时，，则.由，得或；由，得.所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.(2)当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值为，极小值为；当时，，即在上单调递增.此时无极值；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值为，极小值为.综上所述：当时，的极大值为，极小值为；当时，，即在上单调递增.此时无极值；当时，的极大值为，极小值为.20．在中，角A，B，C为的三个内角．(1)若，证明：为等腰三角形．(2)若，用反证法证明：为直角三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据降幂公式，结合两角和差的余弦公式、余弦函数的性质进行化简证明即可；（2）根据两角和的正弦公式，利用反证法进行证明即可.【详解】(1)，所以，所以．所以．因为，所以B=C，故△ABC为等腰三角形．(2)假设△ABC不是直角三角形，则A，B，C都不等于．因为，所以，所以，所以．因为，所以．所以，所以．因为A，B，C都不等于，所以，，所以，所以．因为，所以，这与矛盾，所以假设不成立，故△ABC为直角三角形．21．已知函数．(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点．(2)证明：对任意的，．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为证明只有一个根，令，利用导数可求得，当且仅当时，，由此可证得结论；（2）由（1）可得，即，得到，由此可得，根据对数运算法则整理即可得到结果.【详解】(1)要证函数的图象与直线只有一个交点，只需证方程只有一个根，即证只有一个根，即只有一个根．令，，则．当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，．恒成立，当且仅当时，，方程只有一个根，即函数的图象与直线只有一个公共点．(2)由（1）知：恒成立，即恒成立（在时等号成立）．，，即，，，，…，，，，即．22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）利用导数与函数的单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）由，得，构造函数，其中，求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围.【详解】(1)解：因为，函数的定义域为，所以，令，得；令，得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．(2)解：当时，由，得．