2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题解析(山东卷)

2015年高考山东卷理数试题分析（精编版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的地点上.第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其余答案标号.答案卸载试卷上无效.第Ⅱ卷一定用0.5毫米黑色签字笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地域内相应的地点，不可以写在试卷上；如需改动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；不可以使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参照公式：假如事件A,B互斥，那么PABPAPB.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的（1）【2015高考山东，理1】已知会集Axx24x30，Bx2x4,则AIB（）（A）（1，3）（B）（1，4）（C）（2，3）（D）（2，4）【答案】C【分析】由于Axx24x30x1x3，所以AIBx1x3Ix2x4x2x3.应选：C.【考点定位】1、一元二次不等式；2、会集的运算.【名师点睛】此题观察会集的看法与运算，利用解一元二次不等式的解法化简会合并求两会集的交集，本题属基础题，要修业生最基本的算运求解能力.（2）【2015高考山东，理2】若复数z满足zz=（）i，此中i为虚数为单位，则1i（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i【答案】A【考点定位】复数的看法与运算.【名师点睛】此题观察复数的看法和运算，采纳复数的乘法和共轭复数的看法进行化简求解.此题属于基础题，注意运算的正确性.（3）【2015高考山东，理3】要获得函数ysin4x的图象，只要要将函数ysin4x的图象（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位1212（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位33【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】此题观察了三角函数的图象，要点观察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确办理先周期变换后相位变换这类状况以下图象的平移问题，反响学生对所学知识理解的深度.4】已知菱形ABCD的边长为a，ABCuuuruuur（4）【2015高考山东，理60o,则BDCD（）（A）3a2（B）3a2（C）3a2（D）3a22442【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数目积.【名师点睛】此题观察了平面向量的基础知识，要点观察学生对平面向量的线性运算和数目积的理解与掌握，属基础题，要注意联合图形的性质，灵巧运用向量的运算解决问题.（5）【2015高考山东，理5】不等式x1x52的解集是（）（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【考点定位】含绝对值的不等式的解法.【名师点睛】此题观察了含绝对值的不等式的解法，要点观察学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转变成不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，此题属中档题.xy0（6）【2015高考山东，理6】已知x,y满足拘束条件xy2，若zaxy的最大值为4，则a（）y0（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】Bxy0【分析】不等式组xy2在直角坐标系中所表示的平面地域以以下图中的暗影部分所示，y0若zaxy的最大值为4，则最优解可能为x1,y1或x2,y0，经检验，x2,y0是最优解，此时a2；x1,y1不是最优解.应选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】此题观察了简单的线性规划问题，经过确立参数a的值，观察学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵巧性，意在观察学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.（7）【2015高考山东，理7】在梯形ABCD中，ABC，AD//BC,BC2AD2AB2.将梯2形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）2（B）4（C）5（D）2333【答案】C【考点定位】1、空间几何体的构造特色；2、空间几何体的体积.【名师点睛】此题观察了空间几何体的构造特色及空间几何体的体积的计算，要点观察了圆柱、圆锥的结构特色和体积的计算，表现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的观察，此题属中档题.（8）【2015高考山东，理8】已知某批部件的长度偏差（单位：毫米）遵从正态分布N0,32，从中随机取一件，其长度偏差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ遵从正态分布N,2，则P68.26%，P2295.44%。）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%【答案】B【考点定位】正态分布的看法与正态密度曲线的性质.【名师点睛】此题观察了正态分布的有关看法与运算，要点观察了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在观察学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.（9）【2015高考山东，理9】一条光辉从点2,3射出，经y轴反射后与圆2y22x31相切，则反射光辉所在直线的斜率为（）（A）5或3（B）3或2（C）5或4（D）4或335234534【答案】D【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的地点关系.【名师点睛】此题观察了圆与直线的方程的基础知识，要点观察利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的地点关系的判断，意在观察学生对直线与直线、直线与圆的地点关系的理解与掌握以及学生的运算求解能力.（10）【2015高考山东，理10】设函数f3x1,x12fax,则满足ffa的a取值范围是（）2x,x1（A）2,1（B）0,1（C）2,（D）1,33【答案】C【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】此题以分段函数为切入点，深入观察了学生对函数看法的理解与掌握，同时也观察了学生对指数函数性质的理解与运用，浸透着对不等式的观察，是一个多知识点的综合题.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.（11）【2015高考山东，理11】观察以下各式：C1040C30C3141C50C51C5242;C70C17C72C7343照此规律，当nN时，012n1.C2n1C2n1C2n1LC2n1【答案】4n1【考点定位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】此题观察了合情推理与组合数，要点观察了学生对归纳推理的理解与运用，意在观察学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，要点是能以前三个特别的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而获得结论.此题属基础题.(12)【2015高考山东，理12】若“x0,,tanxm”是真命题，则实数m的最小值为.4【答案】1【考点定位】1、命题；2、正切函数的性质.【名师点睛】此题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒建立问题等多个知识点，意在观察学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转变的思想的应用，此题属中档题.（13）【2015高考山东，理13】执行右侧的程序框图，输出的T的值为.【答案】

116所以答案应填：11.6【考点定位】1、程序框图；2、定积分.【名师点睛】此题观察了循环构造与定积分的计算，意在观察学生对程序框图的理解和基本的计算能力，以程序框图为载体，可以睁开对数列、函数、不等式、定积分等多种知识点的观察，此题是一个模范.解题中要注意运算的正确性.(14)【2015高考山东，理14】已知函数f(x)axb(a0,a1)的定义域和值域都是1,0，则ab.【答案】

32【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】此题观察了函数的有关看法与性质，要点观察学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类谈论思想方法的应用.（15）【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线C1x2y21a0,b0:22的渐近线与ab抛物线C2:x22pyp0交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为.【答案】32【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.【名师点睛】此题观察了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在观察学生对圆锥曲线基本问题的掌握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的看法以及两直线垂直的条件是打破此题的要点.三、解答题：本答题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）2【2015高考山东，理16】设fxsinxcosxcosx.（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fA0,a1,求ABC面积的最大值.2【答案】（I）单调递加区间是4k,kkZ；4单调递减区间是k,3kkZ44（II）ABC面积的最大值为

234【考点定位】1、引诱公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.【名师点睛】此题观察了三角函数的引诱公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理联合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.(17)(本小题满分12分)【2015高考山东，理17】如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点.（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，ABBC,CFDE，BAC45o,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.【答案】（I）详见分析；（II）60o又OH

平面

FGH,

BD

平面

FGH,所以

BD//平面

FGH

．由FC平面ABC，得HMFC又FCIACC所以HM平面ACFD所以GFNH所以MNH即为所求的角【考点定位】1、空间直线与平面的地点关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.【名师点睛】此题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判断与性质，全面观察立几何中的证明与求解，意在观察学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立合适的空间直角坐标系以及运算的正确性.（18）（本小题满分12分）【2015高考山东，理18】设数列a的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.n（I）求an的通项公式；（II）若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.3,n1,（II）Tn136n3.【答案】（I）an1,;3nn1,1243n【考点定位】1、数列前n项和Sn与通项an的关系；2、特别数列的乞降问题.【名师点睛】此题观察了数列的基本看法与运算，意在观察学生的逻辑思想能力与运算求解能力，思想的严实性和运算的正确性，在利用Sn与通项an的关系求an的过程中，必定要注意n1的状况，错位相减非法固然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.（19）（本小题满分12分）【2015高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递加数”（如137,359,567等）.在某次数学兴趣活动中，每位参加者需从全部的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只好抽取一次.得分规则以下：若抽取的“三位递加数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不可以被10整除，得110整除，得1分.分；若能被（I）写出全部个位数字是5的“三位递加数”；（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学希望EX.【答案】（I）有：125，135，145，235，245，345；（II）X的分布列为EX

X0-112111P14423421【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、失散型随机变量的分布列与数学希望；4、组合的应用.【名师点睛】此题在一个新看法的背景下，观察了学生对组合、概率、失散型随机变量的分布列等知识，意在观察学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的要点是从实质问题中抽象出数学模型.（20）（本小题满分13分）【2015高考山东，理x2y21ab0的离心率为320】平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:222，ab左、右焦点分别是F1,F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆订交，且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E:x2y21，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A,B两4a24b2点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)求OQ的值；OP（ii）求ABQ面积的最大值.【答案】（I）x2y21；（II）(i)2；（ii）63.4【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆地点关系综合问题；3、函数的最值问题.【名师点睛】此题观察了椭圆的看法标准方程与几何性质以及直线与椭圆的地点关系，意在观察学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，在获得三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出此中的函数背景成了完整解决问题的要点.(本小题满分14分)【2015高考山东，理21】设函数fxlnx1ax2x