数学高三第一轮复习-解三角形

第19页共19页一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（R为外接圆半径）（3）余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；数学高三第一轮复习——解三角形1、在三角形ABC中“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“C＝90°”的() A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件2、设分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直3、（2009宣武区文）Δ中，分别是内角的对边，且则b：的值是()A.3：1 B.：1C.：1 D.2：14、（2009揭阳）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（）A．B2 C． D．45、（2009汕头潮南）ABC的三边分别为a,b,c且满足,则此三角形是（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形6、（2010天津理）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（）（A） （B） （C） （D）7、设，且，，则等于（） 或8、在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件9.（2010江西理）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（）A. B. C. D.10、锐角三角形ABC中，若，则的范围是（）A．(0,2) B． C． D．11、（2010北京文）某班设计了一个八边形的班徽（如右上图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）（A）（B）（C）（D）12、△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1:1:，且S△ABC=EQ\f(1,2)，则的值是（） A．2 B． C．－2 D．－13、已知非零向量则△ABC的形状是（） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形14、△ABC中，AB=，AC=，BC=2，设P为线段BC上一点，且则一定有（） A．AB·AC>PA2，AB·AC>PB·PC B．PA2>AB·AC，PA2>PB·PC C．PB·PC>AB·AC，PB·PC>PA2 D．AB·AC>PB·PC，PA2>PB·PC15、CD是△ABC的边AB上的高，且，则()A． B．或C．或 D．或16、的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量，若，则角的大小为_____________17、在△中，角所对的边分别为，若则____________.18、(2008湖北)在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为.

19、在平面直角坐标系xoy中已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6，0)，顶点B在双曲线的左支上，20、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m，则m的取值范围是．21、在△ABC中，等于。22、（2010广东理）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.23、（2010重庆文）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等.设第段弧所对的圆心角为，则____________.24、（2010江苏卷）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=_________。25、△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.26、设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.27、设的内角、、的对边长分别为、、，，，求28、(2009湖南卷理).在，已知，求角A，B，C的大小.29、已知中，，，，记，ＡＢＣ120° （1）求ＡＢＣ120° （2）求的值域； 30、（2007山东）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?31、（2010福建理）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。32、（2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？33、（2009宁夏海南卷理）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。历年模拟习题1．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是(A)(B)(C)(D)2.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）已知在函数图象上的三点的横坐标分别为，求的值.1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为 （） A． B． C． D．2．在△ABC中，若∠B=，b=，则∠C=3．在△ABC中，∠BAC=90º，D是BC的中点，AB=4，AC=3，则=(A)-7(B)(C)(D)74．在△中，，，，则_____．5.在△中，，，，且△的面积为，则等于A．或B．C．D．或6．在中，，，则()(A)(B)(C)或(D)或7．已知定点，点和Q分别是在直线l：和y轴上动点，则当△MPQ的周长最小值时，△MPQ的面积是()(A)(B)(C)1(D)8.中的内角的对边分别为，若°，，则=。9．在△中，若，则．10．在中，，，分别为角，，C所对的边.已知角为锐角，且,则.11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则.12.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角B的值为()ABCD13.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足（1）求的值;（2）若的面积是，求的值14．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，且（1）求A的值；（2）若，求的面积15.在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求B的值；（2）求的求值范围。16．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知,，，求△ABC的面积．17．在中，角，，所对应的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积18.已知函数.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为.已知，，试判断的形状.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求的最大值．20．已知中，内角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．21．已知函数f（x）=sin（2x+）+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间。 （Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积．22．在△中,角,,的对边分别为,,．已知向量,,且．（Ⅰ）求角的大小;（Ⅱ）若,求角的值．23.．已知向量（＞0），函数的最小正周期为。 （I）求函数的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足求的值。24.已知函数的图象过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，.若，求的取值范围．25.在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的最大值．26．在△中，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求．K班数学高三第一轮复习——解三角形参考解答1～10：BBDBD、ADBDC；11～15：ACDDD16、；17、；18、；19、；20、(0,EQ\f(1,2))；21、；22、1；23、；解析：又，所以24、[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，，=4。（方法二），25、解：(1)因为，即，所以，即，得.所以,或(不成立).即,得，所以.又因为，则，或（舍去）得(2)，又,即，得26、（1）由得…………又…………，，，又…………（2）由正弦定理得：,…故的周长的取值范围为.…………（2）另解：周长由（1）及余弦定理……又即的周长的取值范围为.…………27、分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。28、解：设由得，所以又因此由得，于是所以，，因此，既由A=知，所以，，从而或，既或故或。29、ＡＢＣ120ＡＢＣ120° ∴，； ∴ （2）由；∴；∴30、解方法一如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=，A1A2=，∴A1A2=A2B2，又∠A1A2B2=180°-120°=60°∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=A1A2=.由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，=+-·A1B2·cos45°=202+()2-2×20××=200.∴B1B2=.因此，乙船的速度的大小为×60=（海里/小时）.答:乙船每小时航行海里.31、【解析】解法一：（=1\*ROMANI）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则==故当时，，此时即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（=2\*ROMANII）设小艇与轮船在B出相遇，则故，即，解得又时，故时，t取最小值，且最小值等于此时，在中，有，故可设计寒星方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇解法二：（=1\*ROMANI）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。在中，，又，此时，轮船航行时间，即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（=2\*ROMANII）猜想时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时又，所以，解得据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇证明如下：如图，由（=1\*ROMANI）得，，故，且对于线段上任意点P，有而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C