基本不等式（学案）

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式【学习目标】1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)【使用说明及学法指导】1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.【预学案】知识点1重要不等式与基本不等式【思考】(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？(2)基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明．知识点2基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值___.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值____.【思考】应用基本不等式求最值的关键是什么？预学自测：1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的．()(2)当a>0，b>0时，a＋b≥2eq\r(ab).()(3)当a>0，b>0时，ab≤(eq\f(a＋b,2))2.()(4)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()2．下列不等式正确的是()A．a＋eq\f(1,a)≥2B．(－a)＋(－eq\f(1,a))≤－2C．a2＋eq\f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋(－eq\f(1,a))2≤－23．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是______.4．已知x>0，求x＋eq\f(1,x)的最小值．【我的疑惑】_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【探究案】探究一、利用基本不等式判断命题真假例1下列不等式一定成立的是()A．eq\r(x2＋\f(1,4))>eq\r(x)(x>0) B．x＋eq\f(1,x)≥2(x≠0)C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)例2如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么下列命题中是真命题的是()A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一【归纳提升】利用基本不等式判断命题真假的步骤【对点练习】❶若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2探究二、利用基本不等式求最值例3(1)已知x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值．【归纳提升】利用基本不等式求最值的方法及注意点【对点练习】❷(1)若0<x<1，则eq\r(x3－2x)的取值范围是___；(2)已知a>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4，则a＋b的最小值为_.探究三、利用基本不等式证明不等式例4已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)．【归纳提升】利用基本不等式证明不等式的思路【对点练习】❸已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.探究四、利用基本不等式求参数范围例1设a>b>c，且eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(m,a－c)恒成立，求m的取值范围．【对点练习】❶若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是____.探究五、基本不等式的实际应用例2如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【归纳提升】在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题【对点练习】❷如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【检测案】1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是()A．eq\f(1,2)B．1C．2 D．42．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a－b<0B．0<eq\f(a,b)<1C．eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) D．ab>a＋b3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是___.4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为____.5．已知a，b∈R，求证：ab≤(eq\f(a＋b,2))2.6．若x>2，则x＋eq\f(4,x－2)的最小值为()A．2B．4C．6 D．87．设x>0，y>0，x＋y＝4，则e