初三上寒假数学竞赛试卷及解答

初三（上）寒假数学竞赛试卷(1)第一试姓名________________班级____________选择题.(每小题7分,共42分)()1.已知,则的值为:(A)1(B)2(C)3(D)4()2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果Δ如果对任意实数都有Δ则为:(A)(B)(C)(D)()3.在ΔABC中,,则∠A:(A)一定是锐角(B)一定是直角(C)一定是钝角(D)非上述答案()4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②③若点在第三象限,则点在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边与其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个()5.设P为等腰ΔABC斜边AB上或其延长线上一点,,则:(A)(B)(C)(D)不确定()6.满足方程的所有正整数解有:(A)一组(B)二组(C)三组(D)四组填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式,则P的最小值是.3.如图1,∠AOB=30O,∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若ΔPQR周长最小,则最小周长是.4.已知二次函数的图象上两点A,B的横坐标分别为,O是坐标原点,如果ΔAOB是直角三角形,则ΔAOB的周长为.第二试一.(20分)已知实数满足不等式,,求的值.二.(25分)如图2,点D在ΔABC的边BC上,且与B,C不重合,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F.又知BC=5.设ΔABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为.求BD长.若且DF经过ΔABC的重心G,求E,F两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数满足关系式,则是整数的倍数.”试问:上述定理中整数的最大可能值是多少并证明你的结论.初三（上）寒假数学竞赛试卷(2)第一试姓名________________班级____________选择题.(每小题7分,共42分)()1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元(B)1.05元(C)0.95元(D)0.9元()2.三角形的三边都是整数,且满足,则此三角形的面积等于:(A)(B)(C)(D)()3.如图1,ΔABC为正三角形,PM⊥AB,PN⊥AC.设四边形AMPN,ΔABC的周长分别是,则有:(A)(B)(C)(D)()4.满足的所有实数对,使取最大值,此最大值为:(A)(B)(C)(D)()5.设.其中是正实数,且满足.则满足:(A)＞5(B)＜5(C)＜2(D)＜3()6.如图2,点O是正六边形ABCDEF的中心,OM⊥CD,N为OM的中点.则等于:(A)9:5(B)7:4(C)5:3(D)3:2填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数满足,则.2.如图3,CD为直角ΔABC斜边AB上的高,DE⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC的周长分别是.当取最大值时,∠A=.3.若函数中自变量的取值范围是一切实数,则实数的取值范围是.4.如图4所示,线段AB与CD都是⊙O中的弦,其中,则⊙O的半径R=.第二试一.(共20分)是一个三位数,是一个一位数,且都是整数,求的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC中,∠A=60O,O,I,H分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC的外接圆与ΔIOH的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组的所有整数解.初三（上）寒假数学竞赛试卷(3)第一试姓名________________班级____________选择题.(每小题7分,共42分)()1.在凸2005边形中,不大于111O的内角最多有:(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个()2.已知均为实数,且关于的不等式的解集为,则的值为:(A)3或7(B)3或13(C)7或8(D)8或13()3.满足的正整数对:(A)只有一对(B)恰有两对(C)至少有三对(D)不存在()4.如图1,A,B,C为⊙O上的三个定点,AB=AC,P为⊙O上的动点.则当点P从点B按逆时针方向向点C运动的过程中,的值:(A)保持不变(B)先减小后增大(C)先增大后减小(D)无法判断()5.设是方程的两个实根,实数满足:则的值为:(A)2005(B)2003(C)(D)()6.在同一平面上,正方形ABCD的四个顶点到直线的距离只取四个值,其中一个值是另一个值的3倍,这样的直线可以有:(A)4条(B)8条(C)12条(D)16条填空题.(满分28分,每小题7分)7.抛物线与直线组成的正方形有公共点,则的取值范围是.8.如图2,D为ΔABC的边BC上一点,P为线段AD上一点,若若ΔAPB的面积为9,ΔCPD的面积为16,则ΔABC面积的最小值是9.在由ΔABC内的2005个点P1,P2,……P2005与ΔABC的三个顶点A,B,C共2008个点所构成的三角形中,最多有个三角形,它们恰好将ΔABC完全分割成无任何重叠的三角形.10.如果点P将⊙O的弦AB和CD分成的四条线段PA,PB,PC,PD的长度恰好是四个互不相同的正整数,则称点P为⊙O的”整分点”.现已知M是半径为5的⊙O上一点,则在半径OM上有___________个不同的整分点.第二试解答题.(共70分)11.(满分20分)求所有的实数,使得关于的方程有且只有整数根.12.(满分25分)如图3,O,H分别是锐角ΔABC的外心和垂心,D是BC边上的中点.由H向∠A与其外角平分线作垂线,垂足分别是E,F.求证:D,E,F三点共线.13.(满分25分)能否将1,2,3……,12这12个正整数分成两组,使得其中第一组有3个数,第二组有9个数,并且第一组中3个数的积恰好等于第二组中9个数之和若能,请给出所有的分组方法;若不能,请说明理由。初三（上）寒假数学竞赛试卷(4)第一试姓名________________班级____________选择题.(每小题7分,共42分)()1.若均为质数,且,则的值为:(A)1999(B)2000(C)2001(D)2002()2.设,,则之间的关系是:(A)(B)(C)(D)()3.设ΔABC的三边长为满足,则ΔABC的周长是:(A)10(B)14(C)16(D)不能确定()4.下面四个命题:①直角三角形的两边长为3,4,则第三边长为5;②,③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD中,AD∥BC,且AB+BC=AD+DC,则四边形ABCD是平行四边形.其中正确的命题的个数为:(A)0(B)1(C)2(D)3()5.一个四位数为平方数,则的值为:(A)11(B)10(C)9(D)8()6.如果满足的ΔABC恰有一个,则的取值范围是:(A)(B)(C)(D)或填空题.(每小题7分,共28分)1.已知为实数,且多项式能被整除,则的值是.2.设正整数满足,则的最大值是.3,若=1,,则=.4.如图1,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是正方形,其中C,D,E在AB上,F,N在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是.第二试一.(20分)若AD是ΔABC角平分线,I是线段AD上的点,且.求证:I是ΔABC的内心.二.(25分)用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只,在两港之间来回送货物.已知每次拖4只小船,一日能来回16次;每次拖7只小船,一日能来回10次.每日来回次数是拖小船只数的一次函数(一天中每次拖小船只数不变).问每日来回多少次,每次拖多少只小船,才能使运货问题达到最大三.(25分)设是从1到9的互不相同的整数,求的最大的可能值.初三（上）寒假数学竞赛试卷(5)第一试姓名________________班级____________选择题.(每小题7分,共42分)()1.正实数满足,则的最小值为:(A)(B)(C)1(D)()2.的值最接近于:(A)(B)(C)(D)()3.如图1,ΔABC中,AB=AC,∠A=40O,延长AC到D,使CD=BC,点P是ΔABD的内心,则∠BPC=:(A)145O(B)135O(C)120O(D)105O()4.为两两不同的正整数,且,则满足上述要求的四元数组共有:(A)4组(B)6组(C)8组(D)10组()5.ΔABC的三边长皆为整数,且,当ΔABC为等腰三角形时,它的面积的答案有:(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种()6.ΔABC的∠A,∠B皆为锐角,CD是高,已知,则ΔABC是:直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形填空题.(每小题7分,共28分)1.使方程恰好有两个解的所有实数为.2.如图2,正方形ABCD中,延长边BC到E,AE分别交BD,CD于点P,Q.当AP=QE时,PQ:AE=.3.如图3,ΔABC内接于⊙O,∠A∠B=90O,则⊙O的面积为.4.某中学生暑期社会调查团共17人到几个地方去考察,事先预算住宿费平均每人每天不超过元.一日到达某地,该地有两处招待所A,B.A有甲级床位8个,乙级床位11个;B有甲级床位10个,乙级床位4个,丙级床位6个.已知甲,乙,丙床位每天分别为14元,8元,5元.若全团集中住在一个招待所里,按预算只能住B处,则整数=.第二试一.(20分)一批货物准备运往某地,有甲,乙,丙三辆卡车可雇用.已知甲,乙,丙三辆车每次运货量不变,且甲乙两车单独运这批货物分别用次;若甲,丙两车合运相同次数,运完这批货物,甲车共运了;若乙,丙两车合运相同次数,运完这批货物,乙车共运了.现甲,乙,丙合运相同次数把这批货物运完,货主应付车方运费各多少元(按每吨运费20元计算)二.(25分)如图4,在圆外切凸六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA.求证:凸六边形ABCDEF是中心对称图形.三.(25分)试求出所有这样的正整数使得关于的二方程至少有一个整数根.初三（上）寒假数学竞赛试卷(6)第一试姓名________________班级____________选择题.(每小题7分,共42分)()1.设是实数,且,则等于:(A)(B)(C)(D)()2.适合于的非负整数对的个数是:(A)1(B)2(C)3(D)4()3.如图1,凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O,ABCD是矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分.则此五边形ABCDE的面积是:(A)(B)(C)(D)()4.若关于的不等式的解中包含了””,则实数的取值范围是:(A)(B)或(C)或(D)或()5.如图2,在ΔABC中,M是边AB的中点,N是边AC上的点,且,CM与BN相交于点K.若ΔBCK的面积等于1,则ΔABC的面积等于:(A)3(B)(C)4(D)()6.设为实数,且,抛物线与轴交于A,B两点,与轴交于点C,且抛物线的顶点在直线上.若ΔABC是直角三角形,则RtΔABC面积的最大值是:(A)1(B)(C)2(D)3填空题.(每小题7分,共28分)1.设是实数,则函数的最小值是.2.方程的两根为,且,则有序实数组共有个.3.若,则.4.如图3,正ΔEFG内接于正方形ABCD,其中E,F,G分别在边AB,AD,B