第二章随机误差课件

第二章随机误差第二章随机误差教学目的和要求通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的特征；掌握随机误差特征值的确定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差。教学目的和要求通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个重点和难点随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞尔公式试验标准差测量结果的最佳估计置信区间3-3重点和难点随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞

主要内容产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原则。随机误差的分布：正态分布、非正态分布。算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。测量的标准偏差：单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误差、算术平均值的极限误差。主要内容产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原一、随机误差的定义随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。第一节随机误差概述一、随机误差的定义随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一二、随机误差产生的原因

随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。第一节随机误差概述二、随机误差产生的原因随机误差是由人们不能掌握，不能例题举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行，恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低，变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法确定，因此造成随机误差。例题举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范三、随机误差的本质特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。三、随机误差的本质特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和四、随机误差的处理原则随机误差性质上属随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差（标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。四、随机误差的处理原则随机误差性质上属随机变服从正态分布随机误差的特征3-10有界性随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界限。对称性在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。抵偿性由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性——抵偿性。单峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。服从正态分布随机误差的特征3-10有界性随机误差总是有界第二节随机误差的分布

一、正态分布随机误差概率分布密度函数表达式为：

图2－4数学期望

E（δ）＝0方

差

D（δ）＝σ2标准偏差

第二节随机误差的分布一、正态分布图2－4数学均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：

当|δ|≤a当|δ|＞a它的数学期望为：

E（δ）＝0

它的方差为：

它的标准偏差为：

二、均匀分布均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：当|δ|≤a它的三、三角分布

三角分布的概率密度函数为：

3-13

数学期望：

E（δ）＝0

它的方差为：

它的标准偏差为：

三、三角分布三角分布的概率密度函数为：3-13数四、反正弦分布

它的概率密度为：

数学期望：E（δ）＝0方差为：标准偏差为：

3-14

四、反正弦分布它的概率密度为：3-14五、χ2分布

设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则随机变量的概率密度为3-15

特征量为：

五、χ2分布设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服六、t分布

设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变量的概率密度t分布的主要分布特征量为：

3-16

（2－32）

（2－33）

六、t分布设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（七、F分布

设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的χ2分布，则随机变量的概率密度为

3-17七、F分布设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的χ第三节算术平均值原理在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。一、算术平均值第三节算术平均值原理在等权测量条件下，对某被测量进行多算术平均值原理若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有算术平均值原理若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最大

最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该二、残余误差3-21由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。

在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，…，xn有算术平均值：

则称为残余误差。二、残余误差3-21由算术平均值原理可知，算术平均值是残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性。

（一）残余误差具有低偿性――残余误差代数和等于零

（二）残余误差平方和为最小

二、残余误差残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性。一、单次测量的标准偏差定理：同一被测量，在相同条件下，测量列xi（x＝1，2，…，n）中单次测量的标准偏差（也称单次测量的标准不确定度）是表征同一被测量值n次测量所得结果的分散性参数，并按下式计算：

式中：n――测量次数（充分大）；δi――测量结果xi的随机误差。一、单次测量的标准偏差定理：同一被测量，在相同条件下，测量列第四节测量的标准偏差例题3-24第四节测量的标准偏差例题3-24单次测量的标准偏差3-25≈0.2μm

单次测量的标准偏差3-25≈0.2μm二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式

定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi

（i＝1，2，…，n），则单次测量标准偏差的估计值为：3-26二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式定理：对同一被测量，在实验标准偏差s的标准差

设在同一条件下，对被测量进行n1次等精度测量，得测量列xi（i＝1，2，…，n）。用贝塞尔公式即可求得单次测量标准偏差要s1。仍在该条件下，再进行n2次测量，同样又可得到单次测量标准偏差s2。我们发现，无论两次的测量次数n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。标准偏差s的标准偏差ss由下式确定，即3-27实验标准偏差s的标准差设在同一条件下，对被测量进行n1次等三、算术平均值标准偏差

如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。

3-28

三、算术平均值标准偏差如果在相同条件下对同一量值作多组重复最佳测量次数确定当n＞10以后，已减少得非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n＝10以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。

3-29最佳测量次数确定当n＞10以后，已减少得非常缓慢。由于测例题已知测量的单次测量标准偏差s＝0.12（略去单位）。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需测量多少次？解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。可得：即测量次数：（次）即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。

3-30例题已知测量的单次测量标准偏差s＝0.12（略去单位四、标准差的其他估计方法3-311、极差法若等精度多次测量测得值x1，x2，…，xn服从正态分布，在其中选取最大值xmax与最小值xmin，则两者之差称为极差ωn＝xmax－xmin根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为：

四、标准差的其他估计方法3-311、极差法若等精度多次测量标准差的其他估计方法3-32故可得s的无偏差估计值，若仍以s表示，则有

特点：极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n＜10时均可采用。因标准差的其他估计方法3-32故可得s的无偏差估计值，若仍以2、最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式估算时的相对误差

在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据的真误差，其中的绝对值最大在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法标准差的其他估计方法2、最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式3、最大残差法

在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差最大残余误差估计标准差最大残差法不适用于n=1的情形标准差的其他估计方法3、最大残差法在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用第五节极限误差极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率为p，并使差值1－p＝a可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以△表示。极限误差△的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定：

或

K称为置信因子，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。

3-35第五节极限误差极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限第二章随机误差第二章随机误差教学目的和要求通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的特征；掌握随机误差特征值的确定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差。教学目的和要求通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个重点和难点随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞尔公式试验标准差测量结果的最佳估计置信区间3-38重点和难点随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞

主要内容产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原则。随机误差的分布：正态分布、非正态分布。算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。测量的标准偏差：单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误差、算术平均值的极限误差。主要内容产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原一、随机误差的定义随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。第一节随机误差概述一、随机误差的定义随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一二、随机误差产生的原因

随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。第一节随机误差概述二、随机误差产生的原因随机误差是由人们不能掌握，不能例题举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行，恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低，变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法确定，因此造成随机误差。例题举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范三、随机误差的本质特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。三、随机误差的本质特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和四、随机误差的处理原则随机误差性质上属随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差（标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。四、随机误差的处理原则随机误差性质上属随机变服从正态分布随机误差的特征3-45有界性随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界限。对称性在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。抵偿性由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性——抵偿性。单峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。服从正态分布随机误差的特征3-10有界性随机误差总是有界第二节随机误差的分布

一、正态分布随机误差概率分布密度函数表达式为：

图2－4数学期望

E（δ）＝0方

差

D（δ）＝σ2标准偏差

第二节随机误差的分布一、正态分布图2－4数学均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：

当|δ|≤a当|δ|＞a它的数学期望为：

E（δ）＝0

它的方差为：

它的标准偏差为：

二、均匀分布均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：当|δ|≤a它的三、三角分布

三角分布的概率密度函数为：

3-48

数学期望：

E（δ）＝0

它的方差为：

它的标准偏差为：

三、三角分布三角分布的概率密度函数为：3-13数四、反正弦分布

它的概率密度为：

数学期望：E（δ）＝0方差为：标准偏差为：

3-49

四、反正弦分布它的概率密度为：3-14五、χ2分布

设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则随机变量的概率密度为3-50

特征量为：

五、χ2分布设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服六、t分布

设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变量的概率密度t分布的主要分布特征量为：

3-51

（2－32）

（2－33）

六、t分布设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（七、F分布

设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的χ2分布，则随机变量的概率密度为

3-52七、F分布设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的χ第三节算术平均值原理在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。一、算术平均值第三节算术平均值原理在等权测量条件下，对某被测量进行多算术平均值原理若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有算术平均值原理若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最大

最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该二、残余误差3-56由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。

在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，…，xn有算术平均值：

则称为残余误差。二、残余误差3-21由算术平均值原理可知，算术平均值是残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性。

（一）残余误差具有低偿性――残余误差代数和等于零

（二）残余误差平方和为最小

二、残余误差残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性。一、单次测量的标准偏差定理：同一被测量，在相同条件下，测量列xi（x＝1，2，…，n）中单次测量的标准偏差（也称单次测量的标准不确定度）是表征同一被测量值n次测量所得结果的分散性参数，并按下式计算：

式中：n――测量次数（充分大）；δi――测量结果xi的随机误差。一、单次测量的标准偏差定理：同一被测量，在相同条件下，测量列第四节测量的标准偏差例题3-59第四节测量的标准偏差例题3-24单次测量的标准偏差3-60≈0.2μm

单次测量的标准偏差3-25≈0.2μm二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式

定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi

（i＝1，2，…，n），则单次测量标准偏差的估计值为：3-61二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式定理：对同一被测量，在实验标准偏差s的标准差

设在同一条件下，对被测量进行n1次等精度测量，得测量列xi（i＝1，2，…，n）。用贝塞尔公式即可求得单次测量标准偏差要s1。仍在该条件下，再进行n2次测量，同样又可得到单次测量标准偏差s2。我们发现，无论两次的测量次数n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。标准偏差s的标准偏差ss由下式确定，即3-62实验标准偏差s的标准差设在同一条件下，对被测量进行n1次等三、算术平均值标准偏差

如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。

3-63

三、算术平均值标准偏差如果在相同条件下对同一量值作多组重复最佳测量次数确定当n＞10以后，已减少得非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n＝10以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。

3-64最佳测量次数确定当n＞10以后，已减少得非常缓慢。由于测例题已知测量的单次测量标准偏差s＝0