课件-常系数线性方程

1y(n)Py(1

y

y(ypyqyypyqyf(一一般形式 ypyqy

由方程特点可看出:y,y,y为同一类型函数将yex代入(1)得2pq

ye(2pq)ex(2)满足(2)时,ex是(1)的一个特解特征根为相异实根1 得到 e1x, e2

且

e(12x常即y1y2是(1)则(1)的通解为 C1e

C2e特征根为二重根11ye11

是(1)的一个特解,求另一个线性无关的特解设y2ux)e1 p)u(2pq)u u 取u

得到另一个线性无关的特解y2xe则(1)的通解为 C1e

C2xe

(C1C2x)e特征根为共轭复根

1i,2i( ye(i)x, e(i)

(i) (i)

ex(cosxisinxex(cosxisinxy y y y

(yy)excos (yy)exsinx 则(1)yex(CcosxCsinx) ypyqy

2pq特征根的情况通解的表达实根1实根1复根12 yC1e C2ey(C1C2x)eyex(C1cosxC2sinx例:y2y3y22311,23,则通解为yC1e

(3)(1)3C2e例:y4y4y y|x01,y|x024412

(2)2 y(C1C2x)e2y2(C1C2x)e2

Ce22y|x01C1

y|x00C2则特解 y(12x)e2例:y2y2y解：222 1,21i yex

cosx121

sin长为100cm的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑。设运动开始时，链条已有20cm垂于桌，则链条的质量为100再设当时刻t时，链条的下端距桌面的距离为x(t则根

d2

gx

d2xgxd2xgxd2xgx2x(0)20 x(0)0注:n阶常系数线性齐次方程 2y(n)py(n1)py(n2 2

pny

1np1

pn

pn一个解 1,2两个解excosxexsinxk重实根k个解ex,xex,,xk1ex一对k1,2excosx,xexcosx,,xk1exexsinx,xexsinx ,xk1ex例 y(5)y(4)y(3)y解：特征方程543 4(1)2(1)(1)2(21)特征根120,31,4i5 e cosx,sinyc1c2xc3exccosxcsin 例

y(5)y(

2y(3)2yyy 特征方程为54232214(1)22(1)(1)0,(1)(21)20,特征根为1e

23cossin

45i,xcosxsiny (C2C3x)cosx(C4C5x)sin ypyqyf( 由解的结构可知1)的通解是:yY故只要求出mfxP mfx)ex[PxcosxPxsinx] mfxPx)exm

设yQy*'Q'(x)exQ(x)ex[Q'(x)Q(y*''Q''(x)ex2Q(x)ex2Q([Q''(x)2Q(x)2Q(Q(2p)Q(2pq)QP(x) mQ(2p)Q(2pq)QPm(x)当不是特征根时:2pq

Q(x) (x)bxm m

xm1bx yQ(m当是特征单根时:2pq0,2p因此Q(x)是m次多项式 Q(x)是m+1次多项式yxQ(mQ(2p)Q(2pq)QPm(x) 当是特征重根时:

pq0,2pQx)是m次多项式,Qx)m+2次多项式y (m

m综上设y*xkexQ (x)m

k22

是单根f(x)P(xm型例6:求yf(x)P(xm型x223x13,2

3

由于0不是特征根 则设yAx Bxy代入方程得

y3x24x3原方程的通解yY(3x 4x143例7:求y4y4y(6x2)e2x的通解解：244 12则对应的齐次方程的通解为YC1e2xCxe222是特征二重根,则设yx2AxB)e2 y*'(x)[2Ax3(3A2B)x22Bx]e2y*''(x)[4Ax3(12A4B)x2(8B6A)x2B]e26Ax2B6x 6A62B2

解 A1,B y*(x)(x3x2)e2y(x)(x3x2)e2x

cx)e21212.fxex[PxcosxPxsinx] k i1 i1yxkex[Q(x)cosxR(x)sinx] nnmax{l,m}例8:求yy10e2xcos 的一个特解

10,11,2由于i2i不是特征根 ye2x(AcosxBsinx将y代入方程得 ye2x(cosx2sin f(x)10e2xcosx中不含(13)的sinx但应认为是式中的Pl(x0y(x)ae2xcosy(x)e2x(acosxbsinx)y3y2yexcos2x的一个特解形 ).1yAexcos2x1 yAxexcos2xBxexsin2x yA cos2xB sin2xxx11 () yyA cos2xB sin2xxx11 性质3 设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函 如yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)而y1与y2分别是方yP(x)yQ(x)yf(1yP(x)yQ(x)yf(2的特解 那么y1y2就是原方程的特解例9：y6y8yx21)e2xcos4解：要利用叠加原理y6y8y(x21)e2x

*xe2x(ax2bx1*y6y8ycos4x y2*

a2cos4xb2sin4则 y2是原方程的特齐次的特征方

268 12，24Yc1e2xc42例：写出微分方程y4y4y6x28e2： 设y4y4y6x：y4y4y8e2x

yy12 yy121则所求特解为y*1 44y*Ax2Bx

21,22y*Dx2e2 y*Ax2BxCDx2e2 y(n)py(n1)py(n2

pny

npn1pn

一个解 1,2两个解excosxexsinxk重实根k个解ex,xex,,xk1ex一对k1,2excosx,xexcosx,,xk1exexsinx,xexsinx ,xk1exmfxPx)exm 不是my*xkexQ (x)m

k22

是单根是重fxex[PxcosxPxsinx] k i1 i1yxkex[Q(x)cosxR(x)sinx] nnmax{l,m}11标准形式：yn)1.f(x)Pm(

Py(

Pn1yPny( my*xkexQxk 是单根ml 是l重lf(x)ex[P(x)cosxP(x)sinx] k is issnnmax{l,yxkex[Qn(x)cosxRnnmax{l,例试求方程y'''3y''3y'yex解：332 1(1)(21)3(1)(1)3 123Y(C1C2xC3x2)e1设特解y*x0Aexx f(x)sinx0 (xt)f(t)dtx f(x)sinxx

f(t)dt

tf(t (1xf'(x)