人教版高中数学选修4-5 1.2《绝对值不等式》习题课

习题课绝对值不等式已知集合A={xlx2-5x+6<0},B={xll2x—1卜3}，则AAB等于()A.{xl2WxW3}B.{xl2Wx<3}C.{xl2<x<3}D.{xl—1<x<3}答案：C不等式lx+3—lx—3l>3的解集是（A.3A.3{xlx>Q}B.{xl|<xW3}C.{xlx±3}D.{xl—3<x<0}答案：A不等式lx+2曰xl的解集是.答案：{xlx>—1}lx—1l+lx+2l+lxl>10的解集是答案：{xlx>3或x<—#■}x2—2lxl—15>0的解集是.答案：(一8,—5)U(5,+<»)若关于实数x的不等式lx—5l+lx+3l<a无解，则实数a的取值范围是.解析：不等式lx—5l+lx+3l<a无解，即aWlx—5l+lx+3l因为lx—5l+lx+3|>|(x—5)—(x+3)l=8,所以a<8.答案：(一8,8].解不等式lx+5l—lx—3l>10.解析：lx+5l=0,lx—3l=0的根为一5,3.(1)当xW—5时，lx+5l—lx—3卜10o—x—5+x—3>10o—18>10.xWxW—5,所以|lx+5—lx—3卜10的解集为0.(2)当一5<x<3时，lx+5l—lx—3l>10ox+5+x—3>10o2x+2>10ox>4.的解集为0.—5<x<3,所以|lx+5l—lx—3卜的解集为0.(3)当x>3时，lx+5l—lx—3l>10ox+5—x+3>10o8>10.x±3,所以|lx+5l—lx—3卜0的解集为0.综上所述，原不等式的解集为.8.解不等式x+l2x—llv3.解析：原不等式可化为，f2x-解析：原不等式可化为，f2x-1>0,或*x+(2x—1)<3C2x-1<0,x—(2x—1)<3.141解得2^x<3或—2vx<2・4所以原不等式的解集是{xl—2<xv§}.9.解不等式lx2+x—2l>x.解析：当x<0时，原不等式恒成立；当x>0时，原不等式可化为X2+x—2>x或X2+x—2<—X.即X2>2或X2+2x—2<0.x>j'2或x<—2或—1—、.；3<x<—1+3.又x>0，.:0Wxv\：3—1或x>\;'2.综上所述，原不等式的解集是{xlx<j3—1或x>\：2}.10.解不等式1x2—3x—4l>x+2.解析：解法一原不等式等价于x+2<0①x+2>0,X2—3x—4>x+2或X2—3x—4V—(x+2).由①oxW—2,fx>—2，由②°ix>2+伍或xV2—伍或1—>/3vxV1+迈o—2VxV2—冷冗或x>2+V1^或1—冷？VxV1+<3,-22-Jw1-J31+J32+J10加所以原不等式的解集为(一◎2—\：1B)U(1—翻，1+£)U(2+\/1B,+Q.解法二原不等式等价于x2—3x—4>0,<x2—3x—4>x+2x2—3x2—3x—4V0,(x2—3x—4)>x+2.J(x+l)(x—4)>0,I(x—2—10)(x—2+冷10)>0f(x+1)(x—4)V0,或J②I(x—l—p3)(x—1+\；3)V0,・•・不等式组①的解集为_(—g,2—H10)U(2+£10,+g),不等式组②的解集为(1—石，1+焉).所以原不等式的解集为—(—g,2—"J10)U(1—3,1+、'3)U(2+\；10,+g).解法三原不等式等价于[(x2—3x—4)+(x+2)]^[(x2—3x—4)—(x+2)]>0即(x2—2x—2)(x2—4x—6)>0,(x—1—3)(x—1+3)(x—2—10)(x—2+10)>0,结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(—g,2—讽)U(1—石，1+“间山2+伍，+8).11.若xWR不等式lx—11+lx—2&的解集为非空集合•求实数a的取值范围.解析：要使lx—1l+lx—2|<a的解集非空，只需a不小于lx—1l+lx—21的最小值即可•由lx—1l,lx—21可以看作数轴上的点到1,2两点的距离，可以看出lx—1l+lx—21的最小值为1.所以a>1.故a的取值范围是［1,+g).12.已知f(x)=lax+1l(a£R)，不等式f(x)<3的解集为｛xl—2<x<1｝.求a的值；若f(x)—2f@lWk恒成立，求k的取值范围.解析：(1)由lax+l|<3得一4<ax<2，又f(x)<3的解集为｛xl—2<x<1｝，所以当a<0时，不合题意.42当a>0时，一一WxW—,得a=2.aax(2)记h(x)=fx)—织2)，厂xW—1,则h(x)=1—4x—3,—1<x<—2，所以lh(x)|<l,因此k>1.所以k的取值范围是［1,+g).13.已知函数fx)=l2x—ll+l2x+al,g(x)=x+3.⑴当a=—2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；⑵设a>—1,且当xW[—2，2)时，,f(x)-g(x)，求a的取值范围.解析：(1)当a=—2时，不等式f(x)<g(x)化为l2x—1l+l2x—21—x—3vO,设函数y=l2x—1l+l2x—2l—x—3，—5x，x<2，y-x-2，gwxWl,3x—6，x>1.其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x£(0，2)时，yvO,・••原不等式解集是{xl0vx<2}.(2)当x^[—2，2)时，fx)=1+a,不等式f(x)<g(x)化为1+a<x+3,a1.*.x^a—2对xW[—2，㊁)都成立，故一2三a—2，4即a<3,•a的取值范围为(一1，扌14.已知函数f(x)=lx—al，其中a>1.当a=2时，求不等式f(x)>4—lx—4l的解集；已知关于x的不等式f(2x+a)—fx)|<2的解集为{x|l<x<2},求a的值.解析：(1)当a=2时，—2x+6,x<2,fx)+lx—41=^2,2<x<4,、2x—6,x>4.当x<2时,

由f(x)>4—\x—4\^—2+6>4^xWl；当2VxV4时，由fx)>4—lx—4ln2三4,不成立；当x>4时，由f(x)>4—lx—4ln2x—6>4nx三5；综上，xWl,或x>5所以，当a=2时，不等式f(x)>4—lx—41的解集为{xlxWl,或x>5}.(2)记h(x)=f(2x+a)—2f(x)=l2xl—2lx—alTOC\o"1-5"\h\zf—2a，x<0，则h=(x)i4x—2a，OVxVa,\o"CurrentDocument"〔2a,x>a.由f(2x+a)—2fx)|<2得lh(x)|<2.即l4x=2a|<2n—2<4x—2a<2a—1a+12、x、2由已知不等式f(2x+a)—2fx)|<2的解集为{x|1<x<2}亦即lh(x)|<2的解集为{x|1<x<2}a—1<

所以=1<

所以解得a=3.a十1~T=21.两实数大小比较的三种情况.设a,b为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A,B.如果A落在B的右边，则称a大于b,记为a〉b；如果A落在B的左边，则称a小于b,记作aVb；如果A与B重合，则称a与b相等，记为a=b.2•不等式的基本性质.对称性：a>bob<a.传递性：a>b,b>cOa>c.加(减)：a>boa+c>b+c.乘(除)：a>b,c>Ooac>bc；a>b,cVOoacVbc.

(5)乘方：a>b>Onan>bn，其中n为正整数，且n>2.开方(取算术根)：a>b>0npa>pb，其中n为正整数，且n>2.a>b,c>dna+c>b+d.本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向.a>b>0，c>d>0nac>bd.本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向.基本不等式.定理1：设a，bWR，贝9a2+b2±2ab，当且仅当a=b时，等号成立.定理2：如果a，b为正数，贝产号三\；ab,当且仅当a=b时，等号成立.我们称爭为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.定理3：如果a，b，c为正数，贝9"+?+°三3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立.c的几何平均数，定a—I—~b~I-c3]c的几何平均数，定我们称3为正数a，b，c的算术平均数,3abc为正数a，b,理3中的不等式为三个正数的算术一几何平均不等式，或简称为平均不等式.定理4(一般形式的算术一几何平均不等式)：如果a1，a2，…，an为n个正数，则幻+勺十…+a：：三勺072…a，当且仅当a】=a2=...=a时，等号成立.12n12绝对值的三角不等式.定理1：若a，b为实数，贝yia+b|W|al+lbl,当且仅当ab>0时，等号成立.定理2：设a，b，c为实数，贝Jia—c|<|a—bl+lb—cl.等号成立o(a—b)(b—c)>0，即b落在a，c之间，推论1：llal—lblKla+bl；推论2：llal—lblKla—bl.绝对值不等式的解法.lax+b|<c，lax+b|>c型不等式的解法.c>0，则lax+b|<c的解为一c<ax+b<c,lax+bl三c的解为ax+b>c或ax+b<—c，然后根据a,b的值解出即可.cVO,则lax+b|<c的解集为，lax+b|>c的解集为R.lx—al+lx—b|>c,lx—al+lx—b|<c型不等式的解法.解这类含绝对值的不等式的一般步骤是：令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根；把这些根由小到大顺