2022-2023学年苏教版必修第一册 专题8.2 函数与数学模型 学案

专题8.2函数与数学模型一、考情分析二、考点梳理知识点一一次函数与二次函数模型1、（1）．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．（2）．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．2、二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论知识点二指数增长模型与对数增长模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.三、题型突破重难点题型突破1一次函数、二次函数模型例1．（1）、（2021·福建福州·高一期中）若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.己知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（）A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间【答案】B【分析】由题意列出关系式，并解不等式.【详解】设售价为，利润为，则，由题意，即，解得，即售价应定为元到元之间，故选：B.（2）、（2021·浙江浙江·高一期末）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令解不等式可得答案.【详解】根据题意可得，解得，则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.故选：A.【变式训练1-1】．（2021·黑龙江·大庆实验中学高一月考）依法纳税是每个公民应尽的义务.根据《中华人民共和国个人所得税法》，自2019年1月1日起，个人综合所得税根据全年应纳税所得额和税率来确定，计算公式为：个人综合所得税=全年应纳税所得额×税率；全年应纳税所得额的计算公式为：全年应纳税所得额=全年综合所得收入额-基本减除费用(六万元)-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除；税率（见下表）：级数全年应纳税所得额税率（%）1不超过36000元的32超过36000元至144000元的部分103超过144000元至300000元的部分204超过300000元至420000元的部分255超过420000元至660000元的部分306超过660000元至960000元的部分357超过960000元的部分45若小陈全年缴纳的个人综合所得税为1380元，其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%，专项附加扣除和依法确定的其他扣除总计为50000元，则小陈全年综合所得收入额为___________.（单位：元）【答案】186250【分析】根据给定信息探求出小陈全年应纳税所得额在36000元到144000之间，设小陈全年综合所得收入额为x元，列出方程求解即得.【详解】若小陈全年应纳税所得额恰好为36000元，则应缴纳个税为，若小陈全年应纳税所得额恰好为144000元，则应缴纳个税为，因，则小陈全年应纳税所得额在36000元到144000元之间，设小陈全年综合所得收入额为x元，则，即，解得，所以小陈全年综合所得收入额为186250元.故答案为：186250【变式训练1-2】．（2021·辽宁·大连八中高一期中）（多选题）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（）A．出租车行驶2km，乘客需付费8元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km【答案】BCD【分析】根据题意依次计算每个选项的车费或行驶距离得到答案.【详解】出租车行驶2km，乘客需付费元，A错误；出租车行驶10km，乘客需付费元，B正确；某人乘出租车行驶5km两次的费用为元，乘出租车行驶10km一次的费用为元，C正确；当行驶8公里时，费用为，，，，D正确.故选：BCD.

重难点题型突破6指数函数、对数函数与模函数模型例2．（1）、（2021·北京市第一六一中学高一期中）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在的保鲜时间是8小时；②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①④ C．②③ D．①③④【答案】B【分析】根据时，保鲜时间是16小时，求出，根据解析式计算可知①正确；根据当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，可知②错误；计算出在某日上午10时购买了该食品的保鲜时间可知③④不正确.【详解】由题意可得，当时，保鲜时间是16小时，即，解得，∴，所以当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；③到了此日11时，温度超过10度，此时保鲜时间不超过2小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论的序号为：①④，故选：B（2）、（2022·浙江·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时【答案】A【分析】药在血液中以每小时的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则，，，，．故选：A．例3．（2021·天津·高一期末）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可；（2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；当x≥40，100x∈N时，综上，（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且当x＝25时，g(x)取得最大值1625；当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g(x)取得最大值1900.综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．例4．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，设茶水温度从85℃开始，经过分钟后的温度为℃，且满足（1）求常数的值；（2）经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到1分钟）.【答案】（1）；（2）7分钟.【分析】(1)根据给定条件，将代入即可计算得解.(2)由(1)的结论，将代入并借助对数计算即可得解.（1）依题意，当时，，于是得，解得，所以常数的值是.（2）由(1)知，当时，，当时，，即，两边取对数得，，因此，(分钟)所以刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感.例5．（2022·上海·高三专题练习）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（为自然对数的底）.（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）结果精确到0.1）；（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到0.1）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将化为：，然后将代入中求解即可；（2）将代入得，然后进行指对互化求解的值.【详解】解：因为，所以，当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，将代入得：；（2）令，即，得，解得.例6．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售亘p（万只）与投入广告费x（万元）之问的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.25万元，则m的最大值是多少？（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？【答案】（1）（2）当投入万元广告费时，该