二次函数与一元二次方程不等式

《二次函数与一元二次方程、不等式》二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）课程目标学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。a.数学抽象：一元二次不等式的定义及解法；b.逻辑推理：理解三个二次的关系；c.数学运算：按步骤解决一元二次不等式；d.直观想象：运用二次函数图像解一元二次不等式；e.数学建模：将生中的不等关系转化为一元二次不等式解决；重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、导入新课问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０，其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝．整理得x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．一元二次不等式的定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数.（二）、探索新知问题：二次函数y=x2-5x的函数图像如下，思考：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。Δ=b2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0二次函y=ax2+bx+c(a＞0)的图象ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c＞0的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠}Rax2+bx+c＜0的解集{x|x1＜x＜x2}归纳小结：华罗庚教授说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非（三）典例解析例1：解不等式:x2－2x－15≥0解：原不等式变形为（x+3）(x-5)≥0方程(x+3)(x-5)＝0的两根为:x＝－3，或x＝5∴不等式的解集为:{x│x≤－3或x≥5}。例2：解不等式-x2+2x–3>0解：整理，得x2-2x+3<0因为△=4-12=-8<0方程2x2-3x–2=0无实数根所以原不等式的解集为ф解：结合以上例题总结：1、求解一元二次不等式的步骤是什么？2、解一元二次不等式中常见的错误是什么？应如何避免？解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0(a>0)的步骤：(1)二次项的系数变为正(a>0)(2)看能否因式分解，不能分解的计算△，(3)求出方程ax2+bx+c=0的实根;（画出函数图像）(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.通过具体的生活情境，导入本节课题，让学生了解学习的必要性，建立一元二次不等式的概念，培养学生数学抽象和数建模的核心素养。通过具体的一元二次不等式解法得探究，让学生体会数形结合的思想方法。培养和发展数学抽象和数学直观的核心素养。小组活动：1、仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。2、讨论总结在这个过程中用到了哪些数学思想和数学方法？通过典型例题解析，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。；通过典型例题的解析，让学生总结归纳，解一元二次不等式的基本步骤。三、当堂达标1.不等式2x2－x－1>0的解集是解析：∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－eq\f(1,2)，∴不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,2)或x＞1)).选D2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是解析：∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2))))).选B3.解下列一元二次不等式：（1）x2-2x-3＞0.解：因为Δ＞0，x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.所以不等式的解集是{x|x＜-1或x＞3}.（2）4x2+4x+1＞0.解：因为Δ=0，方程4x2+4x+1=0的解是x1=x2=.所以不等式的解集是{x|x≠}.（3）-x2+2x-6＞0.解：整理化简，得x2-2x+6＜0.因为Δ＜0，方程x2-2x+6=0无实数解，所以不等式的解集是.4.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，求a的值。解析：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝21a，故a5.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝2时解集为R.当a－2≠0时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ<0，))综上所述，a的取值范围为(－2,2].通过练习巩固本节所学知识，提高解决一元二次不等式的的能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、课堂小结一、知识上我收获了什么？二、方法上我收获了什么？1.“三个二次”的关系2.一元二次不等式解法的步骤：3.数学思想方法：五、作业1.课时练2.预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）一、小试牛刀1.解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(4)－eq\f(1,2)x2＋3x－5＞0；(5)－2x2＋3x－2＜0.二、典例精析例题例1一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y＝－2x２+220x．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得－2x２＋220x＞6000移项整理，得x２－110x＋3000＜０．对于方程x２－110x＋3000＝０，Δ＝100＞０，方程有两个实数根x１＝50，x２＝60．画出二次函数y＝x２－110x＋3000的图象结合图象得不等式x２－110x＋3000＜0的解集为｛x｜50＜x＜60｝，从而原不等式的解集为｛x｜50＜x＜60｝．因为狓只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．跟踪训练1．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m．根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.2.汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝＋，s乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解由题意知，对于甲车，有＋>12，即x2＋10x－1200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30km/h.但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h.对于乙车，有＋>10，即x2＋10x－2000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任．归纳总结用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．三、达标检测1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}C．{x|x≤－2或x＞3}D．{x|x＜－2或x≥3}解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．2．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜33．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜2))，则实数a＝________，实数b＝________.解析：由题意可知－eq\f(1,2)，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2＝－\f(b,a)，,－\f(1,2)×2＝\f(2,a)，))解得a＝－2，b＝3.4．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝22－4×2a＜0，))解得a＞eq\f(1,2).综上，所求5．你能用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600m2的矩形吗？实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).解：设围成的矩形一边的长为xm，则另一边的长为(50－x)m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600m2的矩形．四、课堂小