离散型随机变量的分布列章末综合

离散型随机变量的分布列专题训练1X012Peq\f(1,4)1－qX012Peq\f(1,4)1－qq22．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，eq\f(1,2))，则P(ξ≤3)等于()A.eq\f(11,32)B.eq\f(7,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(7,64)3．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()A．5B．10C．15 D．204．(2015·临沂高二检测)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，遇到红灯时停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为()A.eq\f(1,3)B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)5．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq\f(8,27)，那么一次试验成功的概率p等于．6．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)=。7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6 D．0.48．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)9．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36 D．0.31210．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)．11、袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．12、在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．13、现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是eq\f(3,5)，答对每道乙类题的概率都是eq\f(4,5)，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X为1和3的概率．14、某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为eq\f(4,5)，乙当选的概率为eq\f(3,5)，丙当选的概率为eq\f(7,10).求：①恰有一名同学当选的概率；②至多两人当选的概率．离散型随机变量的分布列专题训练21、某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)①“5次预报中恰有2次准确”的概率；②“5次预报中至少有2次准确”的概率．2、在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为eq\f(1,2)，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．5、(2014·高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为eq\f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？6、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是eq\f(2,3).假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．7、(2015·高考天津卷)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．①设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；②设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．离散型随机变量的分布列专题训练31、某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq\f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq\f(1,3).记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：①求ξ＝2时的概率；②求ξ的数学期望．2、(2014·高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．3．(2015·高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．INCLUDEPICTURE"../Documents/例2.TIF"4、一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是eq\f(1,3)。(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30s，求司机总共等待时间η的期望与方差．5、如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．6、设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5；（3）P(X≥5)．2．1.2离散型随机变量的分布列2．已知离散型随机变量X的分布列如下，求则q的值为。X012Peq\f(1,4)1－qq2在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．[解](1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).因此X的分布列为X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此随机变量Y的分布列为Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(本题满分12分)(2014·高考天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．[解](1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq\f(49,60).6分(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3).9分所以，随机变量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)2．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)答案：B1．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45解析：选A.已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.2．(2015·大连检测)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：选B.P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,2)4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)．解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}于是得P(B)＝eq\f(3,4)，P(BA)＝P(A)＝eq\f(1,4)，∴P(A|B)＝eq\f(P（BA）,P（B）)＝eq\f(1,3)；P(B1)＝eq\f(1,2)，P(B1A)＝P(A)＝eq\f(1,4)，∴P(A|B1)＝eq\f(P（B1A）,P（B1）)＝eq\f(1,2).(3)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为eq\f(4,5)，乙当选的概率为eq\f(3,5)，丙当选的概率为eq\f(7,10).求：①恰有一名同学当选的概率；②至多两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B和C.∴P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(7,10).①因为事件A，B，C相互独立，恰有一名同学当选的概率为P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).②至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(83,125).2．2.3独立重复试验与二项分布3．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，eq\f(1,2))，则P(ξ≤3)等于()A.eq\f(11,32) B.eq\f(7,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(7,64)答案：C4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq\f(8,27)，那么一次试验成功的概率p等于________．1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)①“5次预报中恰有2次准确”的概率；②“5次预报中至少有2次准确”的概率．解：①记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．“恰有2次准确”的概率为P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝Ceq\o\al(0,5)×0.25＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672.所以所求概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为eq\f(1,2)，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．[解](1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB＋AB”，且事件A、B相互独立．∴P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).(2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B(4，eq\f(1,2))．∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))k(1－eq\f(1,2))4－k＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))4(k＝0，1，2，3，4)．∴随机变量ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)(2)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的概率分布列．解：依题意，随机变量X～B(2，5%)，∴P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)(95%)2＝0.9025，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×5%×95%＝0.095，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)(5%)2＝0.0025.因此，次品数X的概率分布列是X012P0.90250.0950.0025(3)(2014·高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为eq\f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解：①X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(3,8)，P(X＝100)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,8)，P(X＝－200)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8).所以X的分布列为X1020100－200Peq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)eq\f(1,8)②设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝eq\f(1,8).所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(3)＝1－eq\f(1,512)＝eq\f(511,512).因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是eq\f(511,512).(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是eq\f(2,3).假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．[解](1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，1分由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，2分P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，3分P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).4分所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为eq\f(8,27)，以3∶2胜利的概率为eq\f(4,27).5分(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).6分由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.7分根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27).8分又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，9分P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，10分P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(3,27)，11分故X的分布列为X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．[解]X的所有可能取值为5，6，7，8.X＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)；X＝6时，表示取出2个红球2个白球，此时P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)；X＝7时，表示取出3个红球1个白球，此时P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)；X＝8时，表示取出4个红球，此时P(X＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).∴X的分布列为X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)∴E(X)＝5×eq\f(4,35)＋6×eq\f(18,35)＋7×eq\f(12,35)＋8×eq\f(1,35)＝eq\f(44,7).(2)(2015·高考天津卷)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．①设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；②设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．解：①由已知，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A发生的概率为eq\f(6,35).②随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,5)Ceq\o\al(4－k,3),Ceq\o\al(4,8))(k＝1，2，3，4)．所以，随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)随机变量X的数学期望E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).(2)某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq\f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq\f(1,3).记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：①求ξ＝2时的概率；②求ξ的数学期望．解：①依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是eq\f(2,3)，故ξ＝2时的概率P＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(8,27).②法一：ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知：P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(2,3))k·(eq\f(1,3))4－k(k＝0，1，2，3，4)．∴ξ的概率分布列为ξ01234Peq\f(1,81)eq\f(8,81)eq\f(24,81)eq\f(32,81)eq\f(16,81)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,81)＋1×eq\f(8,81)＋2×eq\f(24,81)＋3×eq\f(32,81)＋4×eq\f(16,81)＝eq\f(8,3).法二：∵ξ服从二项分布，即ξ～B(4，eq\f(2,3))，∴E(ξ)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).(本题满分12分)(2014·高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．[解]记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且事件E与F，E与eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))与F，eq\o(E,\s\up6(－))与eq\o(F,\s\up6(－))都相互独立.2分(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率为P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).6分(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，7分P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，8分P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，9分P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)，10分故所求的分布列为X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)11分数学期望为E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.12分4．(2015·高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的分布列为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(个)．2．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()A．5 B．10C．15 D．20解析：选B.∵E(ξ)＝eq\f(1,2)n＝15，∴n＝30，∴η～B(30，eq\f(1,3))，∴E(η)＝30×eq\f(1,3)＝10.3．(2015·临沂高二检测)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，遇到红灯时停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为()A.eq\f(1,3) B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)解析：选D.遇到红灯的次数X～B(4，eq\f(1,3))．∴E(X)＝eq\f(4,3)，∴E(Y)＝E(2X)＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是eq\f(1,3).(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30s，求司机总共等待时间η的期望与方差．[解](1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B(6，eq\f(1,3))，故E(ξ)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(4,3).(2)由已知η＝30ξ，故E(η)＝30E(ξ)＝60(s)，D(η)＝900D(ξ)＝1200.解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋