第三章 数据拟合

第三章数据拟合本章讨论在MatLab软件包中，如何进行数据拟合。§3.1多项式曲线拟合Matlab中的多项式曲线拟合使用命令如下：p=polyfit(x,y,n)解释：p=polyfit(x,y,n)表示在误差平方极小的意义下，通过数据拟合运算，寻找n次多项式p(x)的系数，p是一个n+1次的行向量：p=(p,p，…,p,p)，其中nn-1 10p(x)=pXn+pXn-1H Fpx+pn n-1 1 0另外，输入时，x的数据要使用列向量。例3.1在区间［0，2.5］中，用多项式函数拟合误差函数。2x误差函数erf(x)：erf(x)二 Ie-t2dt，它在区间卜10,10］中的图像如下:兀0在区间［0，2.5］中，每隔0.1取一个误差函数的数据，然后用一个6次多项式去拟合误差函数。程序如下：x=(0:0.1:2.5)';y=erf(x);p=polyfit(x,y,6)执行后得到结果：p=Columns1through50.0084-0.09830.4217-0.74350.1471Columns6through71.10640.0004即，p=(0.0084,-0.0983,0.4217,-0.7435,0.1471,1.1064,0.0004),也就是得到6次多项式为：p(x)=0.0084x6-0.0983x5+0.4217x4-0.7435x3+0.1471x2+1.1064x+0.0004计算一下误差函数的数据y与6次多项式p(x)的值之间的误差。程序如下：f=polyval(p,x);table=[xyfy-f]执行后得到结果：table=000.0004-0.00040.10000.11250.11190.00060.20000.22270.22230.00040.30000.32860.3287-0.00010.40000.42840.4288-0.00040.50000.52050.5209-0.00040.60000.60390.6041-0.00020.70000.67780.67780.00000.80000.74210.74180.00030.90000.79690.79650.00041.00000.84270.84240.00031.10000.88020.88000.00021.20000.91030.9104-0.00001.30000.93400.9342-0.00021.40000.95230.9526-0.00031.50000.96610.9664-0.00031.60000.97630.9765-0.00021.70000.98380.98380.00001.80000.98910.98890.00021.90000.99280.99250.00032.00000.99530.99510.00022.10000.99700.99690.00012.20000.99810.9982-0.00012.30000.99890.9991-0.00032.40000.99930.9995-0.00022.50000.99960.99940.0002面在区间［0,5］之间作图比较两个函数的图像的区别。程序如下：x=(0:0.1:5)';y=erf(x);f=polyval(p,x);plot(x,y,'o',x,f,'-')axis([0502])执行后得到结果：其中，用“0”画的曲线是误差函数的图像。例3.2一个[x,y,z,v]=fl0w;xmin=min(x(:));ymin=min(y(:));zmin=min(z(:));xmax=max(x(:));ymax=max(y(:));zmax=max(z(:));hslice=surf(linspace(xmin,xmax,100),...linspace(ymin,ymax,100),...zer0s(100));r0tate(hslice,[-1,0,0],-45)xd=get(hslice,'XData');yd=get(hslice,'YData');zd=get(hslice,'ZData');delete(hslice)h=slice(x,y,z,v,xd,yd,zd);set(h,'FaceC0l0r','interp',...'EdgeC0l0r','n0ne',...'DiffuseStrength',.8)h0ld0nhx=slice(x,y,z,v,xmax,[],[]);set(hx,'FaceC0l0r','interp','EdgeC0l0r','n0ne')hy=slice(x,y,z,v,[],ymax,[]);set(hy,'FaceColor','interp','EdgeColor','none')hz=slice(x,y,z,v,[],[],zmin);set(hz,'FaceColor','interp','EdgeColor','none')daspect([1,1,1])axistightboxonview(-38.5,16)camzoom(1.4)camprojperspectivelightangle(-45,45)colormap(jet(24))set(gcf,'Renderer','zbuffer')执行后得到图像：§3.2样条拟合在MatLab软件包中有内部样条函数spline，它是通过三次样条数据插值进行计算。它的格式是：yy=spline(x,y,xx)pp=spline(x,y)其中：(1)yy=spline(x,y,xx)是通过三次样条分析，对数据x和y插值寻找向量XX的函数yy。如果y是一个矩阵，则对y的每一行进行插值运算，此时向量x的长度length(x)必须等于y的列数size(y,2),并且所得结果矩阵yy的阶是y的行数X向量xx的长度，即，等于size(y,l)xlength(xx)。另外，如果想对矩阵y的列进行插值分析与计算，可以使用MatLab内部函数interp1(x,y,xx,'spline'),此时要求向量x的长度length(x)必须等于y的行数size(y,1)，并且所得结果矩阵yy的阶是向量xx的长度Xy的列数，即，等于length(xx)xsize(y,2)。(2)pp=spline(x,y)返回三次多项式的分段函数形式。例3-2-1首先x从0到10每隔0.25取值，生成数据y=sin(x),然后进行拟合。写一个名称为opt_spline_l的M一文件：x=0:10;y=sin(x);xx=0:.25:10;yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,'o',xx,yy)pp=spline(x,y)[breaks,coefs,l,k,d]=unmkpp(pp)v=ppval(pp,0.85)存盘并且执行，得到下列结果与拟合函数的图形：pp=form:'pp'breaks:[012345678910]coefs:[10x4double]pieces:10order:4dim:1breaks=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10coefs=-0.0419-0.26121.14460-0.0419-0.38680.49650.84150.1469-0.5124-0.40270.90930.1603-0.0716-0.98670.14110.03720.4095-0.6488-0.7568-0.12340.52110.2818-0.9589-0.16840.15090.9538-0.2794-0.0640-0.35420.75060.65700.1190-0.5463-0.14990.98940.1190-0.1894-0.88560.4121l=10k=4d=1v=0.7584程序中，[breaks,coefs,l,k,d]=unmkpp(pp)表示返回被拟合的样条函数；v=ppval(pp,0.85)表示求x=0.85时的函数值，得到v=0.7584。返回的结果中，breaks表示拟合的样条函数共分10段，每一段中都是一个三次多项式函数，并且在ceofs中给出这10段三次多项式的系数，coefs:[10x4double]表示coefs是一个10X4的矩阵，double的意思是矩阵coefs中的元素都是双精度数值。例如，第一段中的系数是：-0.0419 -.26121.14460它表示在0<x<1中，拟合得到的三次多项式函数是：-0.0419x3-0.2612x2+1.1446x+0其余类推。l=10表示分10段拟合样条函数；k=4表示每一段返回的系数是4个；d=1表示在每一段中都是一元函数。例3-2-2在指定的x区间[-4，4]上做样条分析，并且满足在区间的端点上函数y取0值。写一个名称为opt_spline_2的M一文件：x=-4:4;y=[0.151.122.362.361.46.49.060];cs=spline(x,[0y0]);xx=linspace(-4,4,101);plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');程序中的语句cs=spline(x,[0y0])含有[0y0]表示在区间的端点上函数y取0值。存盘并且执行，得到下列样条拟合的图形：例3-2-3从公元1900年〜1990年每隔10年计算一次美国的人口数据(单位:百万)，得到数据列p=[75.99591.972105.711123.203131.669...150.697179.323203.212226.505249.633]，以此为基础做样条分析，预测美国2000年的人口数据。写一个名称为opt_spline_3的M—文件：t=1900:10:1990;p=[75.99591.972105.711123.203131.669150.697179.323203.212226.505249.633];spline(t,p,2000)存盘并且执行，得到下列预测结果：ans=270.6060即，预测美国2000年人口为270.6060(百万)，也就是大约2亿7千万。例3-2-4对(x,y)取样本点(0,0)、(0.5pi,1)、(pi,0)、(1.5pi