余弦定理应用的探究课

欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》课例：余弦定理应用的探究课温州市龙湾中学陈华云背景分析：本课例是备课组围绕本学期校本活动《教研主题：如何进行课堂教学有效性的研究》时展示的一节探究课，活动程序分自我反思、同伴议课、专家点评三种方式进行，从而探索校本教研活动的有效方式。设计理念：本课例立足于“数学教学是数学活动的教学”理念进行设计操作，通过提出问题，引发思路，并经历再发现、再创造的活动过程。从而达到培养学生自主探索、实践创新能力。教材分析：本课例是普通高中课程标准教科书（数学）必修5第一章《解三角形》中1.1.2余弦定理的拓展应用，并不是教材直接给出的课程内容，而是根据课程标准创新设计的一节探究课。学情分析：学生业已具备初步理解三角形相关知识、内容和定理，比如两边之和大于第三边，三角形内角和定理，三角形面积公式的几种形式，正余弦定理等等。作为一节探究课，需要为学生创设一种有益于形成必要的智力结构的学习情境，达到克服传统中大容量，点到为止；或者只对知识的“传递”、“讲授”、“解释”等弊端。教学目标： 知识与能力：加深学生对余弦定理内容的理解与应用，加强学生的猜想与论证能力； 过程与方法：让学生在解决问题的过程中提高思维品质（如深刻性、严谨性、创新性），并强化方程与函数思想、分类讨论的思想、转化思想的运用，从而提高学生综合解题水平； 情感、态度、价值观：体验知识的来龙去脉，感受知识的应用。重点难点：重点：对余弦定理内容的理解与应用，形成自主应用知识探究问题的意识．难点：解题中暴露学生的思维过程，并对自我思维过程的反思。教学流程：提出问题提出问题强化条件弱化条件变化类型第Ⅰ阶段第Ⅱ阶段_______________注：2009年温州市高中新课程优秀课例评比一等奖教学设计：教学环节问题展示提出问题(设计意图:通过开门见山式问题帮助学生回忆一般三角形的有关知识)强化条件(设计意图:设计问题时讲究从一般到特殊再到一般，通过追问方式不断强化条件，一方面增加问题的难度，引导学生灵活应用知识解题。另一方面为学生提供活动的素材，让学生在解决问题的活动中暴露自己的思维过程，然后对自我思维过程的反思，从而在这些方面获得相应的发展)变换类型（设计意图：此题能起到承上启下的过渡作用，并将问题的类型做了改变）弱化条件，问三角形的形状。(设计意图:设计此环节基于两方面的考虑：一方面通过不断等价与弱化变式，加深对余弦定理的理解与应用，另一方面在探索新问题时，鼓励学生进行“大胆猜想，小心求证”等合情推理的方式思考问题，符合知识间相互联系而不是孤立的这一新课程理念，同时对学生的数学学习能力的进一步发展作了很好的铺垫)练习小结(设计意图:通过设计练习及其变形，除了巩固与深化余弦定理知识外，还可以提高综合解题能力)教学实录：教师：学生：一部分回答：缺少条件，不能确定,另一部分学生能回答：。（学生误认为是一个确定的值或对构成三角形的条件没有引起足够的重视造成问题得不到很好的解决）教师：学生：教师追问：如何得到？学生：利用勾股定理便可教师：在直角三角形这个条件中，哪个角为直角？（合理的提示让学生意识到要分类讨论的必要）学生：①若，则；②若，则。教师追问：为什么没有这种情况？（旨在引导学生注意问题条件中有，提高学生的分析能力）教师：变式2：学生：由余弦定理：又为锐角，因此教师：C取锐角时，是否保证其他的两个角也为锐角②？（通过适当的提示，进一步提问学生有无不同的答案，旨在培养学生考虑问题的严谨性）学生：由题意知：得教师小结：若是直角三角形，，若是锐角三角形，）教师：变式3：学生1：只要有一角为钝角就行，①若，则；②若，则。学生2：分析:变式1与变式2结果的并集的补集.（先根据变式2容易引导学生1的解题思路，进一步从学生2的解法中，发现学生的创新思考，由学生提出更好，若学生不能提出，教师加以引导也比较容易）教师：学生：由勾股定理知：教师：学生1：猜想（取值检验）：学生2：推理：从易知由又由可得故所以教师：，问的形状。师生共同完成证明猜想：（通过合情推理，把三角形问题转化为不等式问题，利用函数的单调性进行证明）教师：小结：今天这节课你学到了哪些知识与方法？需要注意什么问题？会用这些知识解题吗？（对照教学设计中的教学目标，完成并落实了哪些。）补充作业：自我反思：建构主义的数学教学观认为，学习是学习者主动的建构活动，而不是对知识的被动接受。学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱、精心启发。“把问题作为教学的出发点”，“让问题处于学生思维水平的最近发展区”，引导学生逐步发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。本节课运用变式教学模式教学，通过创设问题情境，设置思维障碍，添设思维阶梯等手段激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲。本课例开始设计的课题为《解三角形的复习课》，由于三角形知识很多，比如两边之和大于第三边，三角形内角和定理，三角形面积公式的几种形式，正余弦定理等等，不胜枚举。那么这节复习课着重要抓住三角形的哪些知识进行复习？后来改名为《解三角形的探究课》又因为与选定的例题中正弦定理的运用较少，三角形边角转化的关系不明显，因此最后定稿为《余弦定理应用的探究课》无论从选材，还是探究课型更符合现在的教学要求，并且在学习水平不同层次的两个班级进行授课，感觉效果还是有点差异。同行议课：主要依照课堂教学的四个维度（教学内容、教师教学行为、学生学习行为及课堂文化氛围）进行公开点评点评角度一：从学生学习行为分析角色：课堂学习活动的主体状态：课堂学习的积极参与者、主动建构者追求：有效根据观察得到的对比数据，现从学生学习行为的角度做以下点评：视角A班（46人）B班（35人）1、课前没有准备练习本的学生20%（9人）20%（7人）2、96%（44人）91%（32人）3、91%（42人）89%（31人）4、一个学生做出解答1<c<5后，能够响应的学生（包括提出疑义的学生）54%（25人）26%（9人）5、没有响应，但仍在关注问题的学生43%（20人）60%（21人）6、“师：为什么要这样解？”能够立即做出解释的33%（15人）9%（3人）7、提出疑义的一名学生解答<c<5,能够认同的24%（11人）9%（3人）8、经教师解答，表示认同的学生81%（37人）31%（11人）9、经教师解答，没有响应，仍在思考的学生15%（7人）60%（21人）10、经教师解答，表情茫然的学生4%（2人）9%（3人）.一个学生解答后,能够认同的学生52%（24人）14%（5人）12、课堂教学进行15分钟,发现始终没发表观点,不参与讨论的学生7%（3人）9%（3人）13、96%（44人）91%（32人）33%（15人）17%（6人）15、始终没有动笔操作的学生4%（2人）14%（5人）16、解答期间“教师提问是什么函数?”能够正确回答的学生87%（40人）49%（17人）17、对教师的解答过程表示能够理解的学生48%（22人）14%（5人）18、整节课积极思考,并解答的学生22%（10人）9%（3人）19、整节课都没有参与课堂提问,思考及讨论,思想溜号的学生4%（2人）9%（3人）20、教学进行过程中,睡觉的学生0（0人）6%（2人）这里我们把A、B班百分比的差距分成两类，一、差距在5%及5%以下的分别是：视角1、2、3、10、12、13、19；二、差距在5%以上的分别是：视角4、5、6、7、8、9、11、14、15、16、17、18、20。从分类一中统计的数据来看，没有做课前准备及始终没有参与课堂活动的学生比较，A、B两班学生的差异并不大，且对于像2、3、13这样基础性的问题，A、B两班学生也不存在明显差异。而从分类二中统计的数据可以看出无论是对问题的理解，还是积极参与课堂的程度等方面，A、B两班学生的差异都比较明显。点评角度二：从教学内容分析角色：师生课堂共同面对的教/学的客体状态：课程标准下的探究对象（客观世界）追求：适切（需要）首先,本节课教师的题组设置上下了很大的功夫，层层递进，在思维层次上达到了煅炼学生数学思维的目的，同时也兼顾课本知识的运用，但正弦定理的运用较少，三角形边角转化的关系没有得到落实，不过作为一节探究课有所偏重还是可以理解的。其次，作为课程的安排我觉得还是应安排在余弦定理之后，作为对余弦定的扩充应用，应算是一节好课，因此本节课处的时间与地位有待调整。最后，教师在备课前首先要思考的问题是一节课的教学目标。教学目标是课堂教学的核心和灵魂，在教学活动中具有定向的作用。它限定着课堂教学的运作，对保证课堂教学有效开展至关重要。根据课标的要求，解三角形复习课应该侧重于正余弦定理的应用而不是加深学生对三角形相关知识的理解，对三角形知识的理解应是在讲授正余弦定理以及三角形相关知识时要完成的任务。因此教学目标的定位不准确。另外，教学目标表述不明确，教学目标中提到“加深对三角知识的理解”，到底是哪些三角形知识呢？三角形知识很多，比如两边之和大于第三边，三角形内角和定理，三角形面积公式的几种形式，正余弦定理等等，不胜枚举。那么这节复习课着重要抓住三角形的哪些知识进行复习？“提高思维品质，发展思维能力”，提高哪些思维品质？哪些思维能力？具体通过怎样的方式进行提高？表述的并不充分，有点泛泛而谈。点评角度三：从教师教学行为分析角色：课堂教学的组织者、引导者、促进者状态：灵活运用各种教学资源和教学方式追求：有效新课程理念下教师在课堂上的作用和定位都发生了很大的改变，教师是课堂教学的组织者、引导者和促进者，教师教的出发点和归宿就是为了学生的学，不仅是学生的知识增长了多少，更重视的是学生的能力是否得到了最大的锻练。（一）关于教学流程的设计。本堂课教师由浅入深，采取题组和变式的方式步步推进，梯度和层次明显，学生在教师的引导下可一步步走向成功，因此，本课教师是充分重视了学生的学习基础与学习能力，这样的设计对学生的学习能力的培养是有着很大的帮助的。（二）关于解题规范与教学语言。教师的书写整齐漂亮，板书是规范的，逻辑是严密的，方法是多样的，这对学生良好的解题习惯的培养是非常有利的。教师的语言精练，过渡流畅，启发自然，教师给学生留足了思考和回答的时间与空间，又能及时介入，把握课堂的生成方向，一步步走向成功。（三）关于数学思想的渗透。本节课多次运用方程与函数思想对条件进行转化和分析；多次运用分类讨论的思想对所有出现的现象进行了探究；对数和形的转化作了深刻的探讨和评析；转化思想渗透的更明显：对边的讨论转化为角的讨论，边与角的关系转化为用余弦定理来刻画，这些都对学生今后的解题提供了很好的导向。本节课教学的亮点有两处：其一教学设计中思维严密，变式巧妙，层次丰富，每一变式皆能拷问学生对余弦定理的理解程度，以及对边角关系的深刻理解；其二是问题2变式中，引导学生在解题中利用尝试代入，再进行合情推理，通过类比归纳的方法得出结论，再把三角形问题转化为不等式问题，最后通过函数的单调性结合不等式的简单的放缩法进行了证明，在此过程中已经进行了选修教材中要求的合情推理思想与不等式的证明方法的渗透，这符合了知识间是相互联系而不是孤立的这一新课程理念，同时对学生今后合情推理和不等式证明的学习作了伏笔，对学生的数学学习能力的进一步发展作了很好地铺垫。当然，值得探讨的是由于课前教学设计的过于精心，因此教学过程中教师的介入过多，课堂方向的把控上斧凿痕迹太明显，以致于学生的动态生成不多，留给学生思考的时间和空间都受到了很大的制约。点评角度四：从课堂文化氛围分析状态：课堂是师生主体与客体之间的多重对话。追求：对话数学课堂文化应当是一种基于“在活动、实践基础上通过交往促进学生主体性发展”这一思路之上的教学文化。在这种文化氛围中，师生之间的关系是和谐的；学生的学习方式是积极的、主动的；思维活动是灵活的、创新的。建设和谐的文化交流环境，由单向信息传递的师生授受关系转变为多向信息交流的师生交往关系；追求教师的教与学生的学的统一，这种统一的实质是交往，是一种双边乃至多边的交往形式，是一种对话、一种沟通。本课从简单问题引入，逐渐向深度发展，激发学生的学习兴趣和探究数学问题的欲望，构造了一种比较和谐的课堂氛围。在课堂上比较多的学生能主动参与问题的解决，教师很好把握住时机和学生展开交流对话，并采用民主平等的方式与学生交流，让探究氛围更加和谐。课堂语言比较精练，采用鼓励、尊重的话语，关注更多的学生，构建民主、生态、和谐的文化氛围。在探究的过程中，教师能够提供数学资源和方法，对学生指导时机恰当，效果较好。专家点评：刘建永特级老师强调校本教研的中心任务主要体现在四个方面：以提高老师们研究试题的能力、研读文本的能力、观课评课的能力以及学法指导的能力为核心，从“说好一道题、命好一份试卷、上好一堂课、评价一节课、摸清一类学生”入手，把工作做细、做扎实，创造性地开展数学备课组活动。回味平面向量的章节导言——课例：平面向量的应用举例温丛赐说明《普通高中数学课程标准（实验）》［1］指出：“高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的.因此，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力.例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系；向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系；数与形的联系……”“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景……能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.”为了深入研究新课标、新课程、新理念，笔者在上述理念的启导下，于08年11月底在自己所在学校开设了一节公开课——平面向量应用举例（选自人教社必修4第二章），受到了其他教师的一致好评.现对这节课的课堂教学过程简录如下，并根据课后大家的点评以及个人的体会和看法做些分析，供大家参考，如有不妥之处敬请同行批评指正.教学过程简录2.1导言引入，设置悬念教师：前面我们一起学习了向量的线性运算和数量积运算，因为有了运算，向量的力量无限.（学生笑了笑，并示意的点了点头）教师：今天我要带领大家再一次来回味一下本章内容的章节导言.(“哦！……”学生发出一阵诧异和期待的声音)教师：课本73页平面向量的章节导言中有着这么两段话：（多媒体课件演示，以下不再注明）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.教师：哪句话大家看后有特别深的体会啊？学生：向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.学生：向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中有广泛的应用.教师：是的.我们在学习向量的线性运算和坐标表示的时候，就体会到了向量通过坐标运算可以把几何问题转化成代数问题.今天我们要通过研究几个具体的问题来进一步认识向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.教师：首先我们先看看向量是怎么沟通代数的，下面大家请看屏幕这道题目.2.1深化导言，层层递进_______________注：2009年温州市高中新课程优秀课例评比二等奖（以一道不等式证明引起学生思考，学生纷纷动手，巡视片刻，绝大部分学生采用作差比较.但从他们都是紧皱着眉头看出证出这道题有困难.）教师：不等式的右边是两个因式的乘积，大家能否看出每个因式“像什么”？比如“像”我们学过的哪个知识点？（片刻，有些学生像领悟到了什么）学生1：向量的模.（有些学生感到困惑）学生2：（迫不及待地）应该说是一个向量模的平方.教师：对！如果我们构造个向量，则就可看作向量模的平方.（学生都明白过来了，轻声地说那不就可以看作向量模的平方.）教师：不错，大家把不等式的右边看作是两个向量模的平方的乘积，那么不等式的左边又是什么呢？或者说像我们学习到的哪种模式？接下来要怎么证明请大家思考一下.学生3：我觉得在构造向量后，不等式的左边就可以看作是向量数量积的坐标表示.设向量的夹角为，则有：.然后两边平方再利用余弦函数的值域进行放缩就可以得到结论了.（听到他的表述，全班同学都发出赞许的声音：“对哦！”）（板书解题过程，略）教师：这道题目如果纯粹采用代数的方法去证明可能很困难，但是我们在这里通过构造法利用向量的数量积知识来处理，显得比较简单和直观，下面我们来看一个类似的变式题目.（学生在沉思）教师：能否用向量的方法去思考.（稍微点拨，学生恍然大悟）学生4：构造向量，那么函数就可以看作是向量模的和，然后利用就可求得的最小值为5.（听到她如此流畅的表述，全班同学都投以赞许的目光，并发出啧啧的声音表示向量在代数方面的应用的确奇妙.）教师：以上那两个例题是说明向量在代数中的应用，当然以后我们学了其它知识也可用其它方法来做.接下来我们要来看看可用向量方法来解决平面几何中的一些问题.例2、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.ABCABCD图1你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？教师：前面我们学习过了，凡是涉及长度问题常常考虑向量的什么？学生：向量的数量积.教师：不错！凡是涉及到向量的模，我们考虑它的数量积.那大家发现了什么没有？学生5：计算发现因此得出结论是：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.教师：完全正确！同学们听明白了没有？学生：摁.（学生们笑了笑）教师：平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的交角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.教师：从这个例题我们看到了解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.下面我们共同来用向量的方法来解决另一个平面几何中的问题.CABD图2CABD图2学生6：只需证出即可.教师：那要怎么证明呢？学生6：因为所以因为是菱形，所以所以因此所以教师：看来向量在平面几何的简单应用同学们可以掌握了.那同学们，你们说平面向量的哪块知识是沟通平面几何的关键？学生：平面向量的数量积.教师：不错，平面向量的数量积是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，从而使几何和向量有较好的联系和沟通.因此我们还可以用向量知识可以证明或推导许多几何定理和其他性质.学生：这么奇妙，原来向量这么有用.（学生都赞同地点了点头）OxOxyAB图3学生：三角函数.教师：看来同学们都很期待嘛.教师：那接下来我们就高姿态的看看向量是如何和三角紧密在一起的.例3、如图3，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点试用A、B两点的坐标表示的余弦值.教师：前面我们刚提过涉及到夹角问题我们可用哪些相关知识来解决？学生：向量的数量积.教师：完全正确!那谁来帮忙解答这题.学生7：即.学生：太神奇了！这个公式能用吗？教师：当然.这次我们发现了新大陆啊！这个公式可是沟通第二章与第三章的桥梁，把书翻到126页，同学们发现什么？学生：就是刚才我们证明的这个公式.教师：对，我们把这个公式叫做差角的余弦公式.有了它，我们可以做很多工作，比如我们利用这个公式来算算.学生8：，然后按这个公式展开，答案为.教师：反应很快嘛.教师：例3这个例子，主要是让同学们体会向量在三角中的运用，同时也为后面章节中两角差的余弦公式的学习作准备.比如根据差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角与和角的正弦公式，同学们自己下去可自行探究.今天我们在这里扯远了先暂时不提.2.3体验过程，完善认知教师：现在请同学们谈谈学习这节课的感受，究竟你获得了哪些知识？学生5：向量是集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.学生3：觉得向量数量积是一个很重要的概念.学生7：我也觉得向量的数量积是一个非常重要的概念，它是解决一些涉及距离、夹角等问题的一种有力工具.……教师：今天我们通过学习向量在代数、几何、三角中的应用，明白了“数学是有用的”吧！而且数学是自然的、清楚的.希望同学们能类比地学、联系地学，对数学有个正确的认识.（教室响起一片热烈的掌声和笑声）教学特色简评文【1】指出：“数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力.在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系.”本节教学就是基于这点，使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、代数问题以及三角问题的过程，体会向量是处理几何问题、代数问题等的工具，提高学生运算能力和应用能力.下面就简单地评说一下该课例的特色之处.3.1注重提高学生的数学思维能力新课程标准实施之后的数学课，不再以“重点是否突出，内容是否完成，技能是否掌握”为单一的知识目标，也不再是以“板书是否清晰，语言是否流畅，用时是否合理”等片面的艺术价值观来评价一堂课.它更注重过程性原则，是否让学生真正地去“感受数学”；是否充分体现学生在发展中的主体地位，在数学活动中充满探索和创造等等.而这一切都是以发展学生的思维水平和能力为宗旨.这堂课采用了以“回味”的趣味性导入，至始至终引导学生应用向量的意识，把学生应用能力的培养放在优先地位，这充分体现了以学生为主体的教学理念.比如例1与练1，学生很可能用不等式与函数的知识直接去处理，可是经过引导可用向量方法来做，学生的思维马上就可以发散出去.再比如把向量应用在三角方面，得到了差角的余弦公式，有助于学生了解数学概念和结论产生的过程，体验数学研究的过程和创造的激情.后来又说“比如根据差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角与和角的正弦公式，同学们自己下去可自行探究.”这也有助于培养学生独立思考和勇于探究的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力.3.2强调本质，注意适度形式化高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探究活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，进一步理解数学的真正本质.很多学生学了向量只知道向量的外表形式即它可以线性运算、坐标表示，却不知向量的真正内涵与使用价值.因此根本不知道向量可用在哪里，更谈不上对知识的承上启下，因此感觉数学是索然无味的.本节课就克服了这点，用“回味”来吸引学生，一直努力揭示向量是解决几何等其他问题的一种有力工具，以及培养学生应用的意识.例1这个题目通过不等式的证明引出向量的数量积，使学生达到了对数学概念的深刻理解，从而真正认识了数学的表达形式与