线性代数2009-2010第一学期试卷答案

（2009～2010）2010-1- 班级（编号：学号 得分本题得本题得设A为方阵,满足A2A2E0,则A1 1(A A(AE)A为n

A2

A

设,,为正交阵，则2T3T 设2,12T122T 2

2,2,tT线性相关则t 若nA 0或

AX0有n由rXArAn，rXA)nrA)0A

4(A*)2E必有特征 4灵活运用A的特征值计算关于AT,kA,Ak,A1,A的式子及A的多项式等的特征已知向量组1(1,2,1,1),2(2,0,t,0),3(0,4,5, 的秩为2，t .3=2n维向量组1,2,,s(3sn)其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示是该向 123xx1212x3x12设D 123xx1212x3x12共两项：aaa 2x3,和aaa 3211233 412233 22设矩阵A

为正交矩阵，则a 2 2

a13

1.A

a,B

,P 1 23 a31 a33 a32 a33a13 0 P0 1 （B）AP2P1B （C）P1P2AB 2.AmnRAmn,Imm阶单位矩阵，下述结论中正确的是)（A）A的任意m（D）A通过初等变换必可化为(Im,0)形式 )AA中必有两个列向量对应成比例 的任一列向量可由其他列向量线性表示 中必有一列向量可由其他列向量线性表示 0已知矩阵A相似于对角矩阵，其中 0，则下列各矩阵中可逆矩阵 3 （A）EA （B）EA （C）2EA （D）3EAAxb是一非齐次线性方程组,1,2是其任意两个解, （A）12是Ax0的一个解

12

2Axb2（C）12是Ax0的一个解 （D）212是Axb的一个解12345本题总得12345本题总得 0设矩阵A 1，已知ABA2B，求B 2 (A2E)B 1 1 0 1 1 r2r 1 3 1 1 r

0 0 0

1 0 03 0 0r 0 3 22 1 3

xxxxaaxxaxxnxxxxa0axa0xx0xaa(n1)0a00Dnrir1(i2,,cnci(i1,,n[a(n1)x](ax)n1(1) [a(n1)x](a 3维列向量1,1,1)T，1,1,1)T，1,1,1)T03,)T， 可由1,2,3线性表示且表达式唯一可由1,2,3线性表示且表达式不唯不能由1,2,3线性表示由题意，即考虑方程组x11x22x33的解的情况也就

x1xx3的解 xx(1)x r31r3111111 r21110103112002(00Ac1c可由1,2,3线性表示且表示式唯一 0 0 3 3 0 0 r1r2无解，即不能由1,2,3线性表示 3 0 即可由1,2,3线性表示且表示式不唯一 1,1,2,4T,0,3,1,2T,3,0,7,14T,1,1,2,0T, 1 0 3 1 2

1 0 3 1 2 6 2 2 1 1 1 4 1 0 有3个非零行，故秩为3，1，2，4为一个极大无关组当然，极大无关组还有：1，2，5或1，3，4或或1，4，5或2，3，4或2，3，5或2，4，5或 0 设矩阵A 2，求正交变换阵T，使 0 2

1AT为对角阵AE

1 2(2)(1)(4)， 特征值122132 0 12 对于12,由A2E 1

1211可得特征向量 211

322 0

1对于1,由AE 2 2 23 23 可得特征向量 1，单位化得1 2 12 23 234,由A

2对于

2 4 0 2

23;可得特征向量 ;

2 31

于是得正交变换阵Tp,p,p2

2

使得T1AT 1 1

41212设b1a1b2a1a2，…bra1a2ar，且向量组a1a2ar线性无关，证明：向量组b1b2,,br线性无关.证明：令k1b1k2b2krbr由条件得(k1k2kr)a1k2kr)a2krar由于a1,a2,,ar线性无关，上式只有唯一零解，即只k1k2kr k

rkr

,=10，方程组只有唯一零解k 1故b1,b2,,br线性无关AB为两个nRABR(BABX0BX0有完全相同的解.（X(x,x,x)T）1 证明：记ABX0的解集为XAB,BX0的解集为XB“方程组ABX0和方程组BX0XABXB，所以RXABRXB)RABRXABnR(BRXBn得RAB)=R(B).由RABR(B)知，AB的行B的

,B n n则向量组1,,n的秩等于向量组 n的秩 n n向量组1,,n可以由向量组1,,n线性表示此向量组1,,n和向量组1,,n等(这里利用了“两个向量组等秩”加“其中一个向量组可以被另一个线性.向量组1,,n也可以由向量组1,,n线性表不妨设表示矩阵为C， 1