实数与坐标系

第第页教学过程：实数一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。3.当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若的平方根是±2，则x=；的平方根是（4）当x时，有意义。（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例2.（1）下列说法正确的是（）A．1的立方根是；B．；C、的平方根是；D、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、B、C、D、（3）的算术平方根是。（4）若有意义，则___________。（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。（6）已知：A=是的算术平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。（7）（提高题）如果x、y分别是4－EQ\R(,3)的整数部分和小数部分。求x－y的值.【立方根】（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.（1）64的立方根是

（2）若，则b等于（）

A.1000000B.1000C.10D.10000（3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【无理数】（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：（2）有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有()个A2B3C4D5【实数】（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。（2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。例5.（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()b0a b0aA、B、C、D、（3）比较大小(填“>”或“<”).3，，，，（4）若，且，则：=。（5）计算：平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅直的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。点的坐标（1）设P（a，b）若a=0，则P在y轴上；若b=0，则P在x轴上；若a+b＝0（即P点的横纵坐标互为相反数），则P点在二、四象限两坐标轴夹角平分线上；若a=b（即P点的横纵坐标相等），则P点在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上．小结：若P点的横纵坐标的绝对值相等，则P点在象限角平分线上。（2）设P1（a，b）、P2（c，d），若a=c，则P；P2∥y轴；若b=d，则P；P2∥x轴．反之也成立。【同步练习】1．坐标平面内的点与___________是一一对应关系．2．若点M（a,b）在第四象限，则点M（b－a,a－b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若P（x，y）中xy=0，则P点在（）A．x轴上B．y轴上C．坐标原点D．坐标轴上4．若P（a,a－2）在第四象限，则a的取值范围为（）A．－2＜a＜0B．0＜a＜2C．a＞2D．a＜05．在以下四点中，哪一点与点（-3，4）的连结线段与x轴和y轴都不相交（）．A．（-2，3）B．（2，-3）C．（2，3）D．（-2，-3）6．如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（）．A．横坐标相等B．纵坐标相等C．横坐标的绝对值相等D．纵坐标的绝对值相等【对称点的坐标】点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b），关于y轴对称的点的坐标为（－a，b），关于原点对称的点的坐标为（－a，－b），反过来，P点坐标为P1（a1，b1），P1（a2，b2），若a1=a2,b1+b2=0,则P1、P2关于x轴对称；若a1+a2=0，b1=b2，则P1、P2关于y轴对称；若a1+a2=0，b1+b2=0，则P1、P2关于原点轴对称.【同步练习】1．点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_______．2．若P（a,3－b）,Q(5,2)关于x轴对称，则a=___，b=______3．点（－1,4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（－1，－4）B．（1，－4）C．（l，4）D．（4，－1）4．在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于原点的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【练习】一、选择题

1.点M在x轴的上侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（）A.（5,3）B.（－5,3）或（5,3）C.（3,5）D.（－3,5）或（3,5）2.设点A（m，n）在x轴上，位于原点的左侧，则下列结论正确的是（）A.m=0，n为一切数B.m=O，n＜0C.m为一切数，n=0D.m＜0，n=0

3.在已知M（3，－4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（）A.（6,0）B.（0,1）C.（0,－8）D.（6,0）或（0,0）4.在坐标轴上与点M（3，－4）距离等于5的点共有（）A.2个B.3个C.4个D.1个5.在坐标平面内，有一点P（a，b），若ab=0，那么点P的位置在（）A.原点B.x轴上C.y轴D.坐标轴上6.若，则点P（x,y）的位置是（）A.在数轴上B.在去掉原点的横轴上C.在纵轴上D.在去掉原点的纵轴上7.如果直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线（）A.平行于x轴B.平行于y轴C.经过原点D.以上都不对重点考查题型：一、考查题型：已知｜a+3|+EQ\R(,b+1)＝0，则实数（a+b）的相反数和数轴上的点成一一对应关系的是在实数中Л,－EQ\F(2,5),0,EQ\R(,3),－3．14,EQ\R(,4)无理数有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数5．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（）（A）x＋3（B）－x－3（C）－x＋3（D）x－36．下列说法正确是（）有理数都是实数（B）实数都是有理数带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）（2）任何有理数都有倒数；（）（3）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立（）（4）两个无理数之积不一定是无理数（）（5）两个无理数之和一定是无理数；（）（6）a的相反数的绝对值是它本身；（）（7）最小的负数是－1；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－EQ\F(22,7),0，－EQ\R(,9),－EQ\R(3,\f(－1,8)),－EQ\F(Л,2),EQ\R(,8),(EQ\R(,2)－EQ\R(,3))0，3－2，,1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1<x<2，则|x－3|+EQ\R(,(1-x)2)等于（）（A）－2x（B）2（C）2x（D）－24.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求EQ\F(|a+b|,2m2+1)+4m-3cd=。三、解题指导：1．下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数（B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数（D）不带拫号的数一定不是无理数。2．零是（）最小的有理数（B）绝对值最小的实数（C）最小的自然数（D）最小的整数3.如果a是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是EQ\F(1,a)，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（A）0（B）1（C）2（D）34．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？5．把下列语句译成式子：（1）a是负数；（2）a、b两数异号；（3）a、b互为相反数；（4）a、b互为倒数；(5)x与y的平方和是非负数；（6）c、d两数中至少有一个为零；（7）a、b两数均不为0。四．独立训练：1.－EQ\R(3,3),л,(1－EQ\R(,2))º,－EQ\F(22,7),0．1313…,－3－1,1．101001000…(两1之间依次多一个0),中无理数有，整数有，负数有。2．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是3．实数可分为（）（A）正数和零（B）有理数和