曲线积分与曲面积分

关于曲线积分与曲面积分第一页，共八十八页，2022年，8月28日一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分第二页，共八十八页，2022年，8月28日2.存在条件：3.推广第三页，共八十八页，2022年，8月28日4.性质第四页，共八十八页，2022年，8月28日5、对弧长曲线积分的计算定理第五页，共八十八页，2022年，8月28日注意:第六页，共八十八页，2022年，8月28日例1解第七页，共八十八页，2022年，8月28日例2解例3解第八页，共八十八页，2022年，8月28日例3解由对称性,知第九页，共八十八页，2022年，8月28日练习题第十页，共八十八页，2022年，8月28日练习题答案第十一页，共八十八页，2022年，8月28日二、对坐标的曲线积分的概念定义:

函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分类似地定义第十二页，共八十八页，2022年，8月28日2.存在条件：3.组合形式第十三页，共八十八页，2022年，8月28日4.推广第十四页，共八十八页，2022年，8月28日5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第十五页，共八十八页，2022年，8月28日6、对坐标的曲线积分的计算定理第十六页，共八十八页，2022年，8月28日第十七页，共八十八页，2022年，8月28日第十八页，共八十八页，2022年，8月28日例1解第十九页，共八十八页，2022年，8月28日第二十页，共八十八页，2022年，8月28日例2解第二十一页，共八十八页，2022年，8月28日问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.第二十二页，共八十八页，2022年，8月28日例3解第二十三页，共八十八页，2022年，8月28日第二十四页，共八十八页，2022年，8月28日问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.第二十五页，共八十八页，2022年，8月28日(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）第二十六页，共八十八页，2022年，8月28日思考题第二十七页，共八十八页，2022年，8月28日思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.第二十八页，共八十八页，2022年，8月28日第二十九页，共八十八页，2022年，8月28日练习题答案第三十页，共八十八页，2022年，8月28日1、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD三、格林公式第三十一页，共八十八页，2022年，8月28日2.格林公式定理1第三十二页，共八十八页，2022年，8月28日边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.第三十三页，共八十八页，2022年，8月28日第三十四页，共八十八页，2022年，8月28日xyoLAB第三十五页，共八十八页，2022年，8月28日第三十六页，共八十八页，2022年，8月28日解第三十七页，共八十八页，2022年，8月28日xyoLyxo第三十八页，共八十八页，2022年，8月28日xyo(注意格林公式的条件)第三十九页，共八十八页，2022年，8月28日

若区域

如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题第四十页，共八十八页，2022年，8月28日思考题解答由两部分组成外边界：内边界：第四十一页，共八十八页，2022年，8月28日Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.定义：如果在区域G内有第四十二页，共八十八页，2022年，8月28日2.曲线积分与路径无关的条件定理2第四十三页，共八十八页，2022年，8月28日两条件缺一不可有关定理的说明：第四十四页，共八十八页，2022年，8月28日定理3第四十五页，共八十八页，2022年，8月28日第四十六页，共八十八页，2022年，8月28日解第四十七页，共八十八页，2022年，8月28日解第四十八页，共八十八页，2022年，8月28日第四十九页，共八十八页，2022年，8月28日四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题第五十页，共八十八页，2022年，8月28日第五十一页，共八十八页，2022年，8月28日第五十二页，共八十八页，2022年，8月28日练习题答案第五十三页，共八十八页，2022年，8月28日五、对面积的曲面积分1.定义第五十四页，共八十八页，2022年，8月28日2.对面积的曲面积分的性质第五十五页，共八十八页，2022年，8月28日3、计算法则第五十六页，共八十八页，2022年，8月28日则第五十七页，共八十八页，2022年，8月28日例1解第五十八页，共八十八页，2022年，8月28日第五十九页，共八十八页，2022年，8月28日解依对称性知：第六十页，共八十八页，2022年，8月28日第六十一页，共八十八页，2022年，8月28日第六十二页，共八十八页，2022年，8月28日练习题第六十三页，共八十八页，2022年，8月28日第六十四页，共八十八页，2022年，8月28日练习题答案第六十五页，共八十八页，2022年，8月28日六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧第六十六页，共八十八页，2022年，8月28日曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:第六十七页，共八十八页，2022年，8月28日2、概念及性质第六十八页，共八十八页，2022年，8月28日类似可定义第六十九页，共八十八页，2022年，8月28日存在条件:组合形式:第七十页，共八十八页，2022年，8月28日性质:第七十一页，共八十八页，2022年，8月28日3、计算法第七十二页，共八十八页，2022年，8月28日第七十三页，共八十八页，2022年，8月28日注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.第七十四页，共八十八页，2022年，8月28日解第七十五页，共八十八页，2022年，8月28日第七十六页，共八十八页，2022年，8月28日练习题第七十七页，共八十八页，2022年，8月28日练习题答案第七十八页，共八十八页，2022年，8月28日七、高斯公式第七十九页，共八十八页，2022年，8月28日Gauss公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知第八十页，共八十八页，2022年，8月28日解第八十一页，共八十八页，2022年，8月28日(利用柱面坐标得)第八十二页，共八十八页，2022年，8月28日使用Guass公式时应注意:第八十三页，共八十八页，2022年，8月28日第八十四页，共八十