正交小波基的构造和性质

研究生课程考试答题纸PAGE12第32页研究生课程答题纸研究生学题号一二三四五六七八九十总分评卷教师签名得分一、详细归纳正交小波基的性质和构造过程。（20分）二、运用小波包的方法，在MATLAB中对tieda_noise.bmp图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。（30分）三、课程论文：综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，要求包括题目、摘要、引言、正文、结论、参考文献，每个课程论文均不少于2000字。（20分）四、平时成绩，包括出勤、课堂练习、课后作业。（30分）

第一题正交小波基的构造和性质本题中，滤波器代表高通滤波器；滤波器代表低通滤波器；一、由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数构造正交小波基，构造步骤如下：（1）选择或使为一组正交基。（2）求：(1-1)或(1-2)（3）由求：(1-3)或(1-4)（4）由，构造正交小波基函数：(1-5)或(1-6)例1．Haar小波的构造选择尺度函数显然为一正交归一基，则由式（1-3）可得例2．由尺度函数为Riesz基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz基来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。首先给出Riesz基的定义：设函数张成的空间为的Riesz基的充分必要条件为存在两常数，使得对于所有都有(1-7)可以证明式（1-7）等价于因此我们可以定义一个，使得显然，满足即是正交基。且可以构成的多分辨率分析框架。由此可由入手，构造一个正交小波基。可以证明如下：（1）除了时（此时为Haar小波）例外，其他都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程。（2）正交的及其构造的小波函数（Battle－Lemarie小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴，即无限长）。（3）当为偶数时，（或）关于对称，当奇数时，（或）关于对称。而所有Battle－Lemarie小波关于对称。并且已证明和都具有指数衰减性。（4）结论：正交小波的光滑性和衰减性是一对矛盾特性。二、紧支集正交小波基的性质和构造由MRA理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：（1-8a）（1-8b）由上式可知，即使是支集紧的，相应的的支集未必是紧的。因此既简单又重要的是要求式（1-8）的右边仅包含有限项，此时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成：（1-9a）（1-9b）如此，若是正交MRA中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数也是紧支集的。现在的关键问题是要求出满足式（1-9a）的双尺度方程中的。由式（1-9a）可以知道如果先直接寻找函数，然后再来确定有限项的是不容易的。相反，若有限长度的已确定，再来确定则容易些。1.紧支集正交小波基的构造构造紧支集正交小波基的双尺度方程也就是构造特征多项式的方法可归结为下列步骤：选定一整数。选定一多项式，使它满足以下三式：(1-10)(1-11)其中满足，其中(1-12)(1-13)3）寻找一实系数三角多项式，使得。选取方法是：从的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，按照下式构造。则得最简单的情况是取，此时是正系数多项式，所以条件式（1-12）显然得到满足，且因当时，单调增加，因此，(1-14)故条件式（1-14）也得到满足。于是利用Riesz引理即可构作实系数三角多项式，满足由构作时，我们选取时，我们选取在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。当时，的具体解析式为相应的为：当时：此时的非零长度为。当时：此时的非零长度为。图1-1Daubechies尺度函数（N＝4，6，8，…40）图1-2Daubechies小波函数（N＝4，6，8，…40）当时相应的尺度方程系数见表1，其相应的非零长度为，图1-1和1-2示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。对这样的紧支集小波，它的一般性质如下：支集大小由式（1-14）得到不同下尺度函数的支集为其相应的小波母函数的支集为对称性问题尽管紧支集小波有支集紧的优点，但它一般没有对称性。可以证明，除Haar小波（其关于为反对称，其关于为对称）外，其他所有连续的紧支集正交小波基及其尺度函数都不具有任何对称性。光滑性问题紧支集多尺度生成元的光滑性也较差。要增加的光滑度，则要增加支集长度，即时域支集变长，其光滑度也即频域局部性变好。（4）消失矩特性对某些应用来说（特别在指数计算方面），小波不仅应当是零均值的（满足可容许性条件），而且还必须具有高阶消去性。小波的消失矩定义如下：若我们称小波具有阶消失矩。Haar小波只具有一阶消失矩，Daubechies连续的紧支集正交小波可具有任意高阶消失矩，消失矩随着支集增大而增大。对于阶消失矩的Daubechies小波，其的长度，并且次连续可导。

二、运用小波包的方法，在MATLAB中对tieda_noise.bmp图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。程序如下：clc;clear;holdon%绘制原始无噪图像figure(1);%绘制原始彩色图像[a,map]=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_RGB.bmp','bmp');[A,map]=rgb2ind(a,256);save'my'Amap;loadmy;colormap(map);image(A);title('原始彩色图像')figure(2);subplot(222);b=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_gray.bmp','bmp');B=double(b);image(B);title('原始无噪图像')%装载原始有噪图像[X,map]=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_noise.bmp','bmp');%loadY;Y=double(X);nbc=size(map,1);%使用coif2执行3层小波包wname='coif2';lev=3;tree=wpdec2(Y,lev,wname);%由第1层的高频系数估计噪声的标准差det1=[wpcoef(tree,2)wpcoef(tree,3)wpcoef(tree,4)];sigma=median(abs(det1(:)))/0.6745;%使用wpbmpen进行全局阈值选择alpha=0.9;thr=wpbmpen(tree,sigma,alpha);%使用wpdencmp函数，采用上面的阈值和软阈值处理方式，保存低频，进行图像降噪keepapp=1;xd=wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);%画出原始图像和降噪后的图像colormap(gray(nbc));subplot(223),image(wcodemat(X,nbc))title('原始有噪图像')subplot(224),image(wcodemat(xd,nbc))title('降噪后的图像')降噪结果：降噪前、降噪后和无噪原始图像详见图2-1和2-2。（1）通过降噪后的图像和降噪前的图像相比，基本上达到了降噪的目的，图像得到了改善。（2）通过降噪后的图像和未加噪的图像对比，该方法只起到了降噪的目的，并不能完全达到去噪的目的，并不理想。图2-1原始彩色图像图2-1降噪前后图像对比理论依据：本程序从阈值函数和阈值估计两方面对图像去噪。图像去噪需要用二维的分析工具对图像进行分析，需对高频系数分别进行阈值量化处理，对图像分解的三个方向的高频系数进行阈值处理。图像去噪步骤如下：（1）对图像进行小波分解。选择合适的小波函数及适合的分解层次对图像进行分解。（2）对分解后的高频系数进行阈值处理。对分解的每一层，选择合适的阈值对该层的水平、垂直和斜线三个方向的高频系数进行阈值处理。（3）重构图像。根据小波分解的低频系数和阈值处理后的高频系数进行图像重构。第三题基于提升小波多分辨分析的图像去噪摘要基于提升小波多分辨分析图像去噪是小波理论中的一项重要的内容，它是解决去噪问题的一种非常有效手段，基于提升方案的小波变换，比传统的小波变换有很多的优越性。本课题提出基于提升系统的小波多分辨分析图像去噪主要目的是体现提升小波对图像去噪比起其他算法的优势。本课题采用了对比的方法，对cameraman图像加入自定义噪声，噪声方差为0.5，利用haar小波函数对该图像和信号进行二级分解，分别用小波变换和其对应的提升小波进行图像和信号去噪，并采用空域滤波和频域低通滤波对其去噪，给出了仿真结果，从视觉直观图和峰值信噪比、均方误差等参数上进行了分析对比，比较其效果，体现了提升小波图像去噪比起其他算法的优劣。仿真结果表明，提升小波和传统小波相比，其优点在于计算简单，编程容易，速度快，该算法去噪后的图像质量优于一般小波变换和传统方法。关键词：小波变换提升小波图像消噪

第1章小波变换理论基础1.1连续小波变换设，其傅里叶变换为，当满足式(1-1)时，称为一个基本小波或母小波(MotherWavelet)。它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。(1-1)其中，当时，有=0，即同时有。因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值为零(即)且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。将母函数经过伸缩和平移后得到：(1-2)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。通常情况下，基本小波以原点为中心，因此是基本小波以为中心进行伸缩得到。基本小波被伸缩为(时变宽，而时变窄)可构成一组基函数。在大尺度a上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的a则搜索细节特征。对于任意的函数的连续小波变换为：(1-3)当此小波为正交小波时，其重构公式为：(1-4)在小波变换过程中必须保持能量成比例，即(1-5)由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件：(1-6)故是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件式(1-1)，在原点必须等于零，即，即说明具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求的傅立叶变换满足如下稳定性条件：(1-7)1.2离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数b的，而不是针对时间t的。这一点与我们以前的习惯不同。在公式(1-2)中，a，b∈R；a≠0是容许的。为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值。通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定。所以对应的离散小波函数即可写作：(1-8)而离散化小波变换系数则可表示为：(1-9)其重构公式为：(1-10)1.3多分辨分析特性多分辨率分析是在函数空间L2(R)，将函数f(x)描述为一系列近似函数的极限。其主要思想是：从L2(R)的某个子空间出发，在这个子空间先建立基底，然后利用变换，再把基底扩充到L2(R)去，最终将L2(R)分解为一串具有不同分辨率的子空间序列。多分辨率分析是指L2(R)中满足下列条件的一个空间序列：(1)嵌套性：(2)逼近性：(3)伸缩性：(4)平移不变性：(5)Riesz基存在性：且构成V0的Riesz基（按照L2(R)内积）。设以表示低频部分，表示高频部分，是在中的正交补，即，。多分辨率分析的子空间可以用有限个子空间来逼近，那么就有如图1-1所示：VVj-2Vj-1Wj-2Wj-1WjVj……图1-1多分辨率空间1.4小波基的选择小波变换与傅里叶变换只有一种函数或变换核不同，它不具有单一性，理论上有无限多种小波基或变换核，必须根据具体问题选择合适的小波基，否则就难以达到满意的效果。一般来说，在小波分析中，小波基的选择应考虑以下几个方面：正交性、紧支撑性、对称性、正则性、消失矩等。第2章提升小波去噪基本原理2.1提升算法的过程提升小波的基本思想就是通过一个母小波逐步构建出一个具有更加良好性质的新的小波，完全在信号的空间域[11]，对信号实施分裂、预测和更新三大步骤，完成对信号的频率分解。提升算法给出了双正交小波简单而有效的构造方法，使用了基本的多项式插补来获取信号的高频分量，之后通过构建尺度函数来获取信号的低频分量。由提升方法构成的小波变换的分解、预测和更新三个步骤可具体描述如下：②分解。将信号分裂成为两个互不相交的子集和，常用的算法是将输入信号按奇偶分成两个子集，即(2-1)②预测。针对数据间的相关性，可用去预测。故可采用一个与数据集结构无关的预测算子P，使得，这样就可以用子数据集代替原始的数据集。若用子集与预测值的差值去代替，则此差值反映了两者的逼近程度。如果预测是合理的，则差值数据集所包含的信息比原始子集包含的信息要少得多。预测过程的表达式为：(2-2)③更新。由于分解成子集，原来集合的一些特征丢失，通过更新使子集的数据和原来集合的数据保持相同的特征。也就是通过算子U产生一个更好的子数据集，使之保持原数据集的一些特性。的定义为：(2-3)重构数据时的提升公式与分解公式相同，通过直接改变计算次序和符号就可以实现，具体过程如下：(2-4)(2-5)(2-6)其中Merge是合并的意思，是将分裂后的子集和重构成初始信号。利用不同的预测算子P和更新算子U可以建立不同的小波变换。利用第二代小波变换分解和重构的示意图如图2-1所示：…………Sj-1偶数序列Sj-1偶数序列预测更新SjSj合并更新预测更新SjSj合并更新预测分解dj-1dj-1……奇数序列……奇数序列图2-1提升算法框图利用提升方案进行小波变换具有可进行同址运算优点，这样在具体实现时可省去大量在存贮器开销。它的另一个优点是可提高小波变换的速度。所以把现存的有限长小波滤波器分解成基本的提升步骤，可加快小波变换的进行，随滤波器长度的增加，运算速度趋于常规小波变换的2倍，换言之，在同等的硬件条件下，对一维小波变换而言，运算时间降低一半，对二维小波变换则降为原来的四分之一。第3章基于Matlab的图像仿真与分析3.1小波分级层数对去噪效果的影响图3-1小波分级层数对去噪效果的影响通过图3-1的实验直观效果图及峰值信噪比可知，对图像进行2级小波分解效果最佳，峰值信噪比最大，所以在以下的实验中选用2级小波分解。小波各分级层数的信噪比如表3-1所示：表3-1小波各分级层数的信噪比分解级数1级分解2级分解3级分解4级分解PSNR18.833419.414617.293914.8055

3.2小波基函数对去噪效果的影响图3-2小波基函数对去噪效果的影响通过图3-2的实验直观效果图及峰值信噪比可知，对图像采用haar小波基函数进行分解效果最佳，得到的图像最接近原始图像，而且峰值信噪比最大，另外haar小波的正交性，紧支撑性，对称性，正则性等都优于其他小波基函数，所以在以下的实验中选用haar小波基函数。各小波基函数的信噪比如表3-2所示：表3-2各小波基函数的信噪比小波基sym4小波db10小波coif2小波bior4.4小波bior2.2小波haar小波PSNR20.904120.512321.099620.308120.751224.63313.3提升小波去噪仿真结果与分析为了体现提升小波去噪效果，本论文采用了对比的方法，对cameraman图像加入了自定义噪声，在去噪中采用haar小波函数对其进行二层分解，分别用提升小波和小波变换及传统方法进行图像和信号去噪，给出了仿真结果，从视觉直观图和峰值信噪比、均方误差等参数上进行了分析对比，比较效果。提升小波图像去噪如图3-3所示：图3-3提升小波图像去噪从图3-3的消噪结果来看，用提升小波进行图像消噪所得的图像主观效果更好，从它们的峰值信噪比来看，用提升小波进行图像消噪所得的图像的峰值信噪比更大，从它们的均方误差来看提升小波的误差较小，这些都说明提升小波图像去噪效果更好。用提升小波及其他算法进行图像消噪的均方误差和峰值信噪比如表3-3所示：表3-3各种去噪方法的信噪比和误差去噪方法峰值信噪比/dB均方误差中值去噪15.44761.5736巴特沃斯低通去噪16.11261.4991小波去噪16.56641.4336提升小波去噪17.06871.2771总结与展望现实中的图像多为含噪的图像，当噪声较严重时，会影响图像的分割、识别和理解。传统的去噪方法在去噪的同时图像的细节变得模糊。本论文总结了图像去噪方法，并在前人研究成果的基础上，对提升小波去噪进行了深入的研究，取得了一定的效果。与此同时，本论文在的研究工作仍然存在着许多缺陷有待进一步的完善。1、全文工作总结小波分析理论因其具有良好的时频局域特性和多分辨率特性。本论文针对提升小波图像去噪方面的应用进行了研究。具体归纳如下：(1)本文首先总结了图像去噪方法，并对其进行了总结与对比，提出了各自的优缺点，引出了小波变换图像去噪方法，阐述了小波变换的基础理论，给出了小波变换的基本概念、基本思想、发展历程和提升小波去噪的基本方法。(2)适当选择小波参数可以进一步的提高图像去噪的效果，本文小波去噪时各种参数设置进行了详尽的对比研究过程，在此基础上，实现了提升小波去噪仿真，实验结果表明，该算法比传统算法有更好的去噪效果。2、工作展望提升小波在图像去噪应用已取得了很好的成果，但还是存大着一些不足。针对本论文的研究内容和小波去噪的发展趋势提出一些改进的思路与想法，以供以后工作借鉴：(l)如何建立非高斯噪声的分布模型。根据获得的先验知识和已有先验知识进行准确的建模，对于对非高斯噪声的去除非常重要，寻找理想的小波系数模型已成为目前小波去噪研究的一个方向，如何使用高斯噪声分布的去噪方法对非高斯噪声进行延拓都是值得进一步探讨的课题。(2)小波变换具有时频局域特性和多分辨率特性，但它缺乏人眼的方向特性。随着脊波和曲波的出现，提高了模型的准确性，改善了小波的去噪性能，脊波、曲波、边缘波也会成为当前研究的一大趋势。本文对提升小波做了介绍，并将其应用于图像去噪。但这些变换方法的研究都还处于开始阶段，理论和应用都有待进一步的探索。

参考文献[1]李建平.小波分析与信号处理一理论、应用及软件实现.重庆出版社,1997年第1版.[2]陈武凡.小波分析及其在语音信号和图像处理中的应用.科学出版社,2002年第1版.[3]夏良正.数字语音信号和图像处理.南京:东南大学出版社,1999第一版.[4]路系群,陈纯.语音信号和图像处理原理、技术与算法.浙江大学出版社,2001,8.[5]PokG,LiuJC,NairAS.SelectiveRemovalofImpulseNoiseBasedonHomogeneityLevelInformation[J].IEEETrans,OnImageProcessing,2003,12(1):85-92.[6]KasparisT,TzannesNS,QChen.Detail-preservingadaptiveconditionalmedianfilters[J].Electic.Image,1992,1(14):356-364.[7]SawantA,ZemanH,MuratoreD,etal.AnadaptivemedianfilteralgorithmtoremoveimpulsenoiseinX-rayandCTimagesandspeckleinultrasoundimages[J]proc.SPIE,199913661(2):1263-1274.[8]OppenheimA.V.andSchaferR.W.DigitalSignalProcessing.Prentice-Hall[J].1975:361-367.[9]VidakovicB,JohnstoneCB.Ontimedependentwaveletdonoising.[J]In:IEEETrans,Signalprocessing,1998,46(9),2549-2551.[10]DonohoDL,JohnstoneIM,KerkyacharianGetal.Waveletshrinkage:asymptopia?[J]In:Journalofroyalstatisticssocietyseries,1995,57:301-369.[11]WeyichN,WarholaGT.Waveletshrinkageandgeneralizedcrossvalidationforimagedenoising.[J]In:IEEETrans.ImageonProcessing,1998,7(71),82-90.[12]GunawanD.Dennoisingimagesusingwavelettransform.[J]In:ProcessingsoftheIEEEPacificPimConferenceonCommunications,ComputterandSignalProcessing,VictoriaBC,USA,1999,83-85.[13]SharkLK,YuC.Denoisingbyoptimalfuzzythresholdinginwaveletdomain.[J]In:ElectronicesLetters,2000,36(6),581-582.

致谢首先，要特别说明一下这个题目是我从大学本科的论文中整理出的一部分，修改了一些。其次，我非常感谢教我们的小波老师—路永婕老师，老师们教会我的不仅仅是专业理论知识，更多的是对待学习、对待上课的态度。在大学期间做小波的论文感觉十分枯燥，对那些公式不是十分理解，大多数是练习了一下Matlab编程算法，但是在跟老师学习的这16周，我感觉学到了很多东西，尤其是理论方面，还有就是老师布置一些作业，分组到讲台上讲一些实例，都给了我们很好的学习机会。还有就是老师经常在我们大家上课不好好听课时，给我们讲些待人接物与为人处世的道理，对此我印象深刻，也十分感谢老师。老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，诲人不倦的高尚师德，朴