定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理适用学科数学适用年级高二适用区域通用课时时长（分钟）60知识点定积分的概念与几何意义；微积分基本定理求定积分；定积分的简单应用教学目标1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．教学重点微积分基本定理求定积分教学难点微积分基本定理教学过程一、课堂导入问题：什么是定积分？定积分与微积分基本定理是什么？二、复习预习1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．三、知识讲解考点1定积分的概念设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.把区间[a，b]分成n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝eq\o(∑,\s\up6(n－1),\s\do4(i＝0))f(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx，即ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(λ→0))eq\o(∑,\s\up6(n－1),\s\do4(i＝0))f(ξi)Δxi，其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积式，a为积分下限，b为积分上限．

考点2定积分的运算性质(1)ʃeq\o\al(b,a)kf(x)dx＝kʃeq\o\al(b,a)f(x)dx(k为常数)．(2)ʃeq\o\al(b,a)[f(x)±g(x)]dx＝ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx±ʃeq\o\al(b,a)g(x)dx.(3)ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝ʃeq\o\al(c,a)f(x)dx＋ʃeq\o\al(b,c)f(x)dx(a<c<b)．

考点3微积分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．四、例题精析考点一定积分的计算例1若定积分ʃeq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，则m等于()A．－1B．0C．1D．2【规范解答】根据定积分的几何意义知，定积分ʃeq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx的值就是函数y＝eq\r(－x2－2x)的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝eq\r(－x2－2x)是一个半径为1的半圆，其面积等于eq\f(π,2)，而ʃeq\o\al(m,－2)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，即在区间[－2，m]上该函数图象应为eq\f(1,4)个圆，于是得m＝－1，故选A.【总结与反思】(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．考点二利用定积分求曲边梯形的面积例2如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．【规范解答】由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.设两切线相交于点M，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－3，,y＝－2x＋6))消去y，得x＝eq\f(3,2)，即点M的横坐标为eq\f(3,2).在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上，曲线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))上，曲线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．因此，所求的图形的面积是【总结与反思】对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．考点三定积分在物理中的应用例3一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在eq\f(1,2)s～6s间的运动路程为__________．

【规范解答】由题图可知，v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t0≤t≤1,21≤t≤3,\f(1,3)t＋13≤t≤6))，因此该物体在eq\f(1,2)s～6s间运动的路程为【总结与反思】定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．

课程小结1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函